Ahora tengo mucho hincapié en el hecho de que nunca he estudiado diferencial álgebra o el concepto de otros tipos de diferenciación (que es lo que yo creo es el concepto detrás de un diferencial álgebra). Así que, si estoy abusando de la terminología un poco, por favor perdóname.
Vamos a definir un diferencial álgebra conocido como diferenciación implícita. Realmente no tiene un valor único. Deje que nos indican el implícita operador de la derivada como $I(f)$ donde $f$ es cualquier función implícita diferenciación. Esto es, por supuesto, no estándar de la terminología.
Definimos el conjunto solución de a$I(f)(x)$$I(f)(x) := \left\{y| y = \lim_{h\to 0^+} \frac{f(x+h)-f(x)}{h} \lor y = \lim_{h\to 0^-} \frac{f(x+h)-f(x)}{h}\right\}$.
Con esto quiero decir que la evaluación de las $I(f)$ $x$ es cualquier número en el conjunto. Por lo tanto, la implícita derivada es un multi-valuadas operador. Puede devolver cualquier número de funciones dependiendo de la continuidad de $f$.
El general quid de la cuestión es que me gustaría para determinar si la siguiente afirmación es verdadera. Estoy bastante seguro de que es, a pesar de que sólo la intuición.
Es una función de una solución a una ecuación diferencial ordinaria si y sólo si es un continuo de la solución a la correspondiente implícita de la ecuación diferencial?
Por las correspondientes ecuaciones, sólo quiero decir que son correspondientes si son el mismo, salvo con todas las de la derivada operadores reemplazado con el operador de la derivada implícita. Así, la ecuación de $D(y) = e^x$ tiene un correspondiente ecuación de $I(y) = e^x$.
No estoy seguro de si es o no de que nadie va a poder probar esta afirmación. Creo que es un poco complicado, pero incluso sólo algunos consejos sobre cómo abordar este o cómo empezar, sería muy apreciado. No es para hacer la tarea ni nada de eso. Es sólo una declaración y el concepto que he desarrollado en mi cabeza a través de los años y la quiero para determinar su veracidad.
Nota: si algo equivalente a esto o muy similares a las que sólo hace que este un caso especial ha sido demostrado en el pasado siéntase libre de usar eso como una respuesta. Voy en el marco del (posiblemente errónea impresión de que esto no ha sido probado antes.
ACTUALIZACIÓN:
Creo que una posible ruta para probar esta afirmación puede venir por demostrar las siguientes proposiciones.
Los conjuntos de soluciones de sub-ecuaciones diferenciales es un super conjunto de los conjuntos de soluciones de las correspondientes ecuaciones diferenciales
Los conjuntos de soluciones de sub-ecuaciones diferenciales es un super conjunto de los conjuntos de soluciones de las correspondientes ecuaciones diferenciales implícitas
Si una solución a un sub-ecuación diferencial es continua, entonces es una solución de la correspondiente ecuación diferencial
Si una solución a un sub-ecuación diferencial es continua, entonces es una solución para la correspondiente implícita de la ecuación diferencial
Yo creo que el de las dos primeras proposiciones podría seguir trivialmente a partir de la definición de la sub-derivados. El tercero podría haber sido demostrado en el pasado. Yo no estoy seguro. El cuarto sería la verdadera carne y los huesos de la prueba.
El subderivative se define aquí: https://en.wikipedia.org/wiki/Subderivative
Razones para querer esta declaración resultó:
El implícita diferencial operador definido a través de los límites; sin embargo, el propósito de que es emular un diferencial álgebra en la cual todos los paso las funciones tienen un derivado de 0 y todas las otras reglas normales se conservan. Si no fuera evidente, debido a que de esta implícita la ecuación diferencial que involucra el paso de las funciones es trivial para resolver (al menos en términos de las funciones de paso a sí mismos dificultad). Si la declaración fuera cierto, podría ofrecer una nueva vía por la que atacar ecuaciones diferenciales, algunos de los cuales podrían ser hecho trivial de resolver a través de este método.
