Voy a reiterar mi punto popular de los comentarios: en el cálculo de funciones de una sola variable, vemos (en el sentido más tosca), dos tipos de variable cantidades que aparecen en las funciones: aquellos que son internos a las operaciones sobre las funciones, y desaparecen una vez que se complete la operación, a la que llamamos variables vinculadas y la verdad variables en el que el problema originalmente dependía (que por analogía son independiente). (Estos nombres son de lógica, donde la idea central del argumento es que las variables vinculadas no actúan como variables). Las variables vinculadas esencialmente siempre resultan ser un artefacto de la notación en el cálculo, pero con frecuencia el extraño convenios son útiles cuando en realidad la evaluación de los objetos, en lugar de hablar teóricamente.
El primer lugar que normalmente uno se encuentra con una variable ligada está en un límite. Hablamos del límite de una función $f$ a un punto de $a$-no se menciona de una variable! Pero lo que es escribir
$$ \lim_{x \to a} f(x). $$
Podemos escribir esto como $l(f,a)$, ya que el $l$ es una función de sólo estas dos cosas, pero de alguna manera la primera notación se siente mejor: nos imaginamos, Newton-como el punto de $x$ arrastrándose hacia la $a$ hasta su último valor es $l(f,a)$ (que es el mismo que $f(a)$ si la función es continua). Pero lo que nos llamó a este rastrero punto es irrelevante: $\lim_{y \to a} f(y)$ es la misma cosa. (Se hace aquí una distinción con los convenios de los físicos, a los que les gusta pensar de sus letras que significan las cosas, por lo $t$ es siempre un tiempo, y $x$ un desplazamiento, y así sucesivamente. Pero es matemáticas que estamos discutiendo.) Y como usted probablemente ha notado, esta notación es universal: literalmente nadie escribe sus límites con esta función $l$. Esto es probablemente debido a que muy a menudo tenemos que hablar acerca de complicadas combinaciones de funciones, a la que no queremos dar un nombre específico, aunque sólo sea para evitar la ejecución de las cartas (que es un problema constante en el largo pruebas!). (También, la más capas de la denominación que le damos a las funciones, más difícil es recordar de qué estamos hablando en primer lugar.)
Cuando nos movemos hasta la derivada, sin embargo, no es una notación común que no lleva las variables vinculadas a la vuelta (y no el de Newton notación: a pesar de $\dot{x}$ no lleva ningún variables vinculadas, la notación de Newton lleva a lugar a que el equipaje de una suposición tácita acerca de parametrisation): la notación de Lagrange
$$ f'(a) = \lim_{x \to a} \frac{f(x)-f(a)}{x-a}. $$
Por supuesto, todos somos grandes fans de la regla de la cadena alrededor de aquí, y de alguna manera $(f \circ g)' = (f' \circ g) \cdot g' $ simplemente no tiene esa memorable pop. Por otro lado, la notación de Leibniz
$$ \frac{df}{dx} $$
hace la declaración básica de la regla de la cadena accesible a cualquier persona que puede manipular fracciones, incluso si sabemos que esta es una mala manera de pensar. La cosa es, $df/dx$ no es en realidad la notación correcta ($f$ es un "puro" de la función, así que en realidad no tienen una dependencia de $x$: lo que Leibniz haría es escribir $y=$ [algunos expresión que implique $x$s] y, a continuación, $y$ no depende de $x$, por lo que
$$ \frac{dy}{dx} $$
es un bien definidos, cosa que le da la función de expresar la pendiente de la tangente de la línea como $x$ varía. Se debe escribir el $df(x)/dx$, pero esto se ve terrible, y no es "pura", la función más: es atrapado dependiendo $x$. Para evaluar el gradiente en un punto, uno tiene que recurrir a la notación
$$ \frac{df}{dx}(a), $$
que una vez más no tiene mucho sentido, o
$$ \left. \frac{df}{dx} \right|_{x=a}, $$
que es realmente más allá de los límites (y, por desgracia, sobrevive en la geometría diferencial textos, donde la base de la $T_pM$ es a menudo llamado $\partial_i \mid_p$ o, peor aún, $\left. \frac{\partial}{\partial x_i} \right|_p$). Así que, para ser totalmente precisa, usted puede terminar para arriba con
$$ \left.\frac{dy}{dx} \right|_{x=a} = \left.\frac{dy}{du} \right|_{u=u(a)} \left.\frac{du}{dx} \right|_{x=a}, $$
que en realidad no es más mnemónico de la notación de Lagrange.
De todos modos, ¿dónde estaba? Así que el Leibniz-estilo derivado también contiene una variable, pero normalmente no se de aviso (esto también demuestra lo que está mal con la escritura de $df/d2$, por ejemplo: $2$ no es una variable, por lo que no puede ser una variable: la variable vinculada, no puede existir fuera de la expresión en la que está enlazado.
Para llegar finalmente al punto, lo mismo es cierto en la integración, pero mucho más, ya que el Leibniziana $\int_a^b f(x) \, dx$ domina completamente. (Newton tuvo la más dulce de la notación $\boxed{x}$ de la integral (integración que se conoce como "cuadrar" una curva en ellos días), y que usted nunca ha oído hablar de esto debe darle una idea de lo popular que se hizo.) La integral es, en una primera aproximación de la definición, el área bajo una curva. Como Paramanand Singh la respuesta de notas, esto solo depende de dos cosas: el conjunto sobre el que uno se integra, y la función. Por lo tanto se puede escribir, sin ambigüedad,
$$ \int_a^b f. $$
Pero como cualquiera que haya evaluado integral sabe, la manipulación de puro funciones es mucho más difícil de manipular lo que son esencialmente expresiones algebraicas, por lo que
$$ \int_a^b f(x) \, dx $$
es mucho, mucho más fácil trabajar con. Pero una vez más, el $x$ dentro de la integral sólo tiene la vida y el significado dentro de ella. Por lo tanto, si bien podemos usar las mismas letras para atado y sin ataduras variables, realmente no deberíamos: esta es la razón por la $F(y):=\int_a^b f(x,y) \, dx$ es sólo una función de $y$. Pero si escribimos $F(x) = \int_a^b f(x,x) \, dx$, se convierte en uninterpretable: no hay manera de distinguir el límite de la independiente. Uno tiene incluso peor los problemas relativos a la llamada "integral indefinida", $\int f(x) \, dx$, pero este ensayo ya es suficiente!
Ahora, en cuanto a la segunda parte de tu pregunta va, lo que usted necesita saber es la siguiente relación de recurrencia para las derivadas de funciones de Bessel:
$$ (rJ_1(r))' = rJ_0(r) $$
De ahí que inmediatamente obtiene
$$ \int_0^1 rJ_0(\lambda_m r) \, dr = \frac{1}{\lambda_m} J_1(\lambda_m). $$
Para el denominador, se tiene además la relación $J_0'(r) = -J_1(r) $, por lo que uno encuentra que
$$ \left( \frac{1}{2}r^2(J_0(r)^2 + J_1(r)^2) \right)' = rJ_0(r)^2, $$
y así
$$ \int_0^1 rJ_0(\lambda_m r)^2 \, dr = \frac{1}{2}(J_0(\lambda_m)^2 + J_1(\lambda_m)^2) = \frac{1}{2}J_1(\lambda_m)^2, $$
que luego cancelar en la respuesta que usted desea.
