Tengo una triangulación problema que estoy tratando de resolver para un proyecto de trabajo. Ha pasado una eternidad desde que me he tomado una clase de matemáticas para asumir que me he olvidado de todo, porque probablemente yo tengo.
Así que esta es la situación:
Tengo un tetraedro ($ABCD$). Sé que los tres ángulos ($\angle ABC \angle ACB \angle BAC$) y las longitudes de los tres lados ($\overline{AB}$ $\overline{AC}$ $\overline{BC}$) de la base ($\triangle ABC$). Sé que los tres ángulos alrededor del pico ($D$) ($\angle ADB$ $\angle ADC$ $\angle BDC$). Con que puedo deducir los ángulos diedros entre tres caras ($\triangle ABD$ a $\triangle ACD$, $\triangle ACD$ a $\triangle BCD$, $\triangle ABD$ a $\triangle BCD$).
Cómo puedo solucionar para las longitudes de todos los lados, entre la base y el pico ($\overline{AD}$ $\overline{BD}$ $\overline{CD}$), o cualquiera de los restantes ángulos ($\angle ABD$ $\angle BAD$ $\angle ACD$ $\angle CAD$ $\angle BCD$ $\angle CBD$)?
A mí me parece con una base de tener un fijo, conocido de forma y tamaño, y ángulos fijos de todo el cuarto punto, debería ser posible directamente deducir el resto de los ángulos y las longitudes de los lados.
Gracias de antemano.
-Jon
ACTUALIZACIÓN:
Siento que hay algo acechando en la Ley de los Senos. Desde que tengo un ángulo y su lado opuesto para las caras $\triangle ABD$ $\triangle ACD$ y $\triangle BCD$, sé que la relación entre los senos de los ángulos desconocidos y sus caras opuestas. También, a partir de la Ley de los Senos como se aplica a un tetraedro sé que la relación entre los senos de los ángulos de las caras adyacentes enfrente de su lado compartido:
$$\frac{\sin(\angle ABD)}{\sin(\angle ACD)}=\frac{\sin(\angle ADB)\cdot\sin(\angle ABC)}{\sin(\angle ADC)\cdot\sin(\angle ACB)}$$
Para satisfacer las proporciones dentro de ambos $\triangle ABD$$\triangle ACD$, Y la relación entre los $\sin(\angle ABD)$ $sin(\angle ACD)$ debería obligar a sólo una posibilidad para$\overline{AD}$, ¿verdad?
