¿Existe un morfismo de esquemas, decir $X\to Y$, tales que el mapa topológico subyacente es inyectivo pero no se separa el morfismo $X\to Y$ (es decir, la diagonal incrustar $\Delta\colon X\to X\times_Y X$ no es cerrado)? Claramente, se separa un monomorfismo de esquemas, pero no sé si lo mismo se aplica si sólo exigimos inyectabilidad.
Respuesta
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No, No es que no existan!
Prueba: Supongamos $f:X\to Y$ ser una de morfismos de esquema de que el subyacente mapa topológico del espacio es inyectiva. Por la construcción de fibra de producto de maquinas, uno puede asumir que los $Y$ es un esquema afín y que $X\times_YX$ admite un cubrimiento por los afín a abrir subschemes $U\times_YV$ donde $U$ $V$ son afines abierta en $X$. Deje $z\in X\times_YX$ con proyecciones de $x\in U,y\in V$, entonces estos puntos se encuentran en el mismo punto de $w\in Y$ (ver Pilas de Proyecto); por hipótesis de $f(x)=w=f(y)\Rightarrow x=y$. Sin pérdida de generalidad, vamos a $U=V$. La restricción $\Delta:X\to X\times_YX$ a cerrado emebedding $\Delta_U:U\to U\times_YU$ ($U$ es afín, por lo tanto es separado); uno tiene que $\Delta$ es el encolado de morfismos de $\Delta_U$'s $U$ se ejecuta en el conjunto de afín a abrir subconjunto de $X$ $\Delta$ es un cerrado de morfismos de esquemas, de manera equivalente, $X$ es separado esquema. (Q. E. D. $\Box$)
Para más detalles, véase Bosch - Geometría Algebraica y Álgebra Conmutativa, la proposición 7.4.9 y corolario 7.4.10.
