He comprobado si se ha hecho algo con respecto a esta pregunta en MSE pero no he encontrado nada. Si los detalles de mi pregunta ya han sido tratados en algún lugar, por favor, diríjanme. Este es el ejercicio 14 del capítulo 2 de Introducción al Álgebra Conmutativa de M.F. Atiyah e I.G. Macdonald [AM].
A continuación expongo el ejercicio y luego ofrezco mis pruebas. Aunque mi argumento me convence, soy escéptico sobre algunas afirmaciones que hago. Todo lo que se encuentra después de la ( $\dagger$ ) en mi prueba es donde creo que podría estar acechando un error. Específicamente, siento que estoy cambiando la forma de ver los objetos, lo cual puede no ser permisible. Estoy dando vueltas entre ver las cosas como anillos, luego como módulos, luego como módulos sobre un anillo diferente.
3.14: Dejemos que $M$ ser un $A$ -módulo y $\mathfrak{a}$ sea un ideal de $A$ . Supongamos que el $M_{\mathfrak{m}}=0$ para todos los ideales maximales tales que $\mathfrak{a} \subseteq \mathfrak{m}$ . Demostrar que $M = \mathfrak{a}M$ . [Pasar al $A/\mathfrak{a}$ -Módulo $M/\mathfrak{a}M$ y utilizar (3.8)]
Donde (3.8) simplemente afirma que ser 0 es una propiedad local.
Prueba: Considere la secuencia exacta $$\mathfrak{a} \to A \to A/\mathfrak{a} \to 0.$$
Dado que la tensorización es exacta por la derecha (Proposición 2.18 en [AM]) obtenemos una nueva secuencia exacta $$\mathfrak{a} \otimes_A M \to A \otimes_A M \to A/\mathfrak{a} \otimes_A M \to 0.$$
Ahora dejemos que $\mathfrak{m}$ sea cualquier ideal maximal que contenga $\mathfrak{a}$ y tomar $S = A - \mathfrak{m}$ . Como la localización es exacta (Proposición 3.3 en [AM]), entonces tenemos otra secuencia exacta $$S^{-1}(\mathfrak{a} \otimes_A M) \to S^{-1}(A \otimes_A M) \to S^{-1}(A/\mathfrak{a} \otimes_A M) \to 0. \tag{1}$$
$(\dagger)$ Ahora bien, como $A \otimes_A M \cong M$ (Proposición 2.14, i en [AM]), entonces $S^{-1}(A \otimes_A M) \cong S^{-1}M$ que es 0 por hipótesis y como la secuencia (1) es exacta, entonces como $S^{-1}(A \otimes_A M) = 0$ debemos tener eso $S^{-1}(A/\mathfrak{a} \otimes_A M) = 0$ . Por el ejercicio 2, capítulo 2, tenemos que $A/\mathfrak{a} \otimes_A M \cong M/\mathfrak{a}M$ Por lo tanto $S^{-1}(M/\mathfrak{a}M) = 0$ . Pero como $\mathrm{Ann}(M/\mathfrak{a}M)=\mathfrak{a}$ , $M/\mathfrak{a}M$ es naturalmente un fiel $A/\mathfrak{a}$ y los ideales máximos de $A/\mathfrak{a}$ están en correspondencia uno a uno con los ideales maximales de $A$ que contiene $\mathfrak{a}$ . Dado que ser 0 es una propiedad local y $S^{-1}(M/\mathfrak{a}M) = 0$ para todos los ideales maximales de $A/\mathfrak{a}$ , entonces concluimos que $M/\mathfrak{a}M = 0$ entonces $M = \mathfrak{a}M$ .
