Una identidad intrigante: $\cos(2x) \overset{?}{=} \log_{\cos(1)}\frac{\cos(\cos(x))}{\cos(\sin(x))}$

Question

Yo estaba jugando con el Desmo y notó que: $$\cos(2x)=\log_{\cos(1)}\frac{\cos(\cos(x))}{\cos(\sin(x))}$$ Yo derivan de este: $$\int_{\cos(x)}^{\sin(x)} \tan(u)du$$ cuando me di cuenta de que parecía similar a una onda sinusoidal, $\ln(\cos(1))\cos(2x)$, hice algo de álgebra y vino para arriba con la identidad. Parece salida de una calculadora gráfica relativamente bien, excepto que no tiene idea de por qué esto funciona. Esto me parece muy interesante para mí porque incluye ubicado funciones trigonométricas y el coseno de 1, lo cual es muy extraño para la igualdad de una simple función coseno. Si alguien puede probar esto, puede ser muy interesante para ver. Tengo una sensación de que esto es un poco fuera, porque de lo mucho que la complejidad de los lados diferentes, por lo que si nadie puede negarlos, que también sería genial. Gracias.

Answer 1

Las respuestas anteriores ya demostraron que esto no es una verdadera identidad tan solo quiero mostrar por qué se ve como una buena aproximación. Vamos a definir

$$ h(x) := \frac{\cos(\cos(x))}{\cos(\sin(x))}, f(x) := \log_{\cos(1)} h(x). $$

Hay una serie de propiedades que son satisfechos por $h(x)$ (e $f(x)$) que hacen que se vea como la función trigonométrica $\cos(2x)$:

1. Como $\cos(2x)$, la función de $h(x)$ (y, por tanto,$f(x)$) $\pi$- periódico porque $$ h(x + \pi) = \frac{\cos(\cos(x + \pi))}{\cos(\sin(x + \pi))} = \frac{\cos(-\cos(x))}{\cos(-\sin(x))} = \frac{\cos(\cos(x))}{\cos(\sin(x))} = h(x).$$ Si $f$ no periódica, mediante el trazado de $f$ $\cos(2x)$ que inmediatamente se ve que ellos no pueden ser iguales.
2. Además, la función de $f(x)$ comparte otra simetría con $\cos(2x)$. Es decir, $$ h \left( x + \frac{\pi}{2} \right) = \frac{\cos \left( \cos \left( x + \frac{\pi}{2} \right) \right)}{\cos \left( \sin \left( x + \frac{\pi}{2} \right) \right)} = \frac{\cos(-\sin(x))}{\cos(\cos(x))} = \frac{\cos(\sin(x))}{\cos(\cos(x))} = \frac{1}{h(x)} \implica \\ f \left( x + \frac{\pi}{2} \right) = \log_{\cos(1)} \left( \frac{1}{h(x)} \right) = - \log_{\cos(1)}(h(x)) = -f(x) $$ mientras $$ \cos \left( 2 \left(x + \frac{\pi}{2} \right) \right) = \cos(2x + \pi) = - \cos(2x). $$ Por lo tanto, la aproximación en el conjunto de la $\mathbb{R}$ parece "tan buena" como la aproximación en $\left[ 0, \frac{\pi}{2} \right]$ y de nuevo, sin que esta simetría sería más claro gráficamente que las funciones no pueden ser idénticos.
3. La función de $f$ está de acuerdo con $\cos(2x)$ en cinco puntos diferentes en $[0,\pi]$ (y en una infinidad de puntos en $\mathbb{R}$ debido a la periodicidad). Es decir, $$ f(0) = \log_{\cos(1)} \frac{\cos(\cos(0)}{\cos(\sin(0))} = \log_{\cos(1)} \frac{\cos(1)}{\cos(0)} = \log_{\cos(1)} \cos(1) = 1 = \cos(2 \cdot 0), \\ f \left( \frac{\pi}{4} \right) = \log_{\cos(1)} \frac{\cos \left( \cos \left( \frac{\pi}{4} \right) \right)}{\cos \left( \sin \left( \frac{\pi}{4} \right) \right)} = \log_{\cos(1)} 1 = 0 = \cos \left( 2 \cdot \frac{\pi}{4} \right) \\ f \left( \frac{\pi}{2} \right) = -f(0) = -1 = \cos \left( 2 \frac{\pi}{2} \right) \\ f \left( \frac{3\pi}{4} \right) = -f \left( \frac{\pi}{4} \right) = 0 = \cos \left( 2 \cdot \frac{3\pi}{4} \right) \\ f(\pi) = f(0) = 1 = \cos(2\pi). $$
4. Los derivados de la $f$ $\cos(2x)$ está de acuerdo en tres de los cinco puntos arriba (en$x = 0, \frac{\pi}{2}$$x = \pi$).

Dado que todas las propiedades anteriores no es de extrañar que las funciones se parece bastante a la misma sin hacer zoom. Por ejemplo, si en lugar de $f$ nos gustaría tener una interpolación de Hermite polinomio que está de acuerdo con $\cos(2x)$ a los puntos de $x = 0, \frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{4}, \pi$ y cuyos derivados de acuerdo con los derivados de $\cos(2x)$$x = 0, \frac{\pi}{2}, \pi$, tendríamos un polinomio de aproximación dada por

Conspirar en contra de $\cos(2x)$ $[0,4]$ obtendríamos

Usted puede ver que sin zoom, es imposible ver la diferencia entre el $\cos(2x)$ e esta interpolación polinómica en $[0,\pi]$. La única razón por la que vemos la diferencia es que el polinomio no es periódico, así que después de estar cerca de $\cos(2x)$ $[0,\pi]$ se empieza a disparar. Para $f$, no disponemos de este fenómeno por lo que la interpolación se ve a nuestros ojos aún mejor.

Answer 2

No parece ser cierto, como puede verse por el trazado de la diferencia de los lados izquierdo y derecho de la "ecuación":

Ver http://www.wolframalpha.com/input/?i=graph+of+y%3Dcos(2x)-+log(+cos(cos(x))+%2F+cos(sin(x))+)+%2Flog(cos(1))

Sin embargo, las diferencias son bastante pequeñas, y no por ello deja de ser muy interesante, a ver si alguien puede dar una goodreason por qué son aproximadamente iguales.

Answer 3

No: tienen diferentes derivados segundo en $x=0$. Como todos sabemos, el segundo derivado de $\cos{2x}$ en cero es $-4$. Por otra parte, la derecha es $1/\log{(\cos{1})}$ veces $$ \log{(\cos{\cos{x}})}-\log{(\cos{\sin{x}})}. $ $ diferenciando una vez da $$ \sin{x} \tan{(\cos{x})} + \cos{x} \tan{(\sin{x})}, $ $ y diferenciando una vez más, da a $$ \cos{x} \tan{(\cos{x})} - \sin^2{x} \sec^2{(\cos{x})} -\sin{x}\tan{(\sin{x})} +\cos^2{x} \sec^2{(\sin{x})}. $$ poner $x=0$ $1+\tan{1}$, por lo que el segundo derivado es $$ \frac{1+\tan{1}}{\log{(\cos{1})}}, $ $, que es fácil de comprobar no $-4$ (es de $-4.15$).

Answer 4

Quizás una manera más que dice para ver por qué falla la identidad es comparando los segunda derivados de cada término:

En rojo, el segundo derivado de la LHS y en azul la de los RHS. Esta manera, el error relativo es lo suficientemente grande como para descartar la posibilidad de error de punto de flotante.