Que $n$ ser un entero positivo. Muestran que el entero más pequeño mayor que es divisible por $(\sqrt{3} + 1)^{2n}$ $2^{n+1}.$

Question

Que $n$ ser un entero positivo. Muestran que el entero más pequeño mayor que es divisible por $(\sqrt{3} + 1)^{2n}$ $2^{n+1}.$

Sabemos que $(\sqrt 3-1)^{2n}<1$

Answer 1

Esto no tiene nada que ver con el análisis funcional. Dejar: % $ $$ A_n = (\sqrt{3}+1)^{2n}+(\sqrt{3}-1)^{2n} = (4+2\sqrt{3})^n+(4-2\sqrt{3})^{n}\tag{1} $desde $0<4-2\sqrt{3}<\frac{2}{3}$, tenemos que $A_n$ es el número entero que el techo del $(\sqrt{3}+1)^{2n}$.

Ahora tenemos: $$ A_0 = 2, \quad A_1 = 8,\qquad A_{n+2} = 8 A_{n+1} - 4 A_{n}\tag{2} $ $ y si tomamos: $$ \nu_2(n) = \max\{m\in\mathbb{N}: 2^m\mid n\} \tag{3}$ $ ocurre que: $$ \nu_2(A_n)\geq n+1\tag{4} $ $ puede ser probada por inducción de $(2)$. Podemos también factor de una $2^n$ de los RHS de $(1)$ después a estudiar la paridad de la secuencia dada por: $$ B_n = (2+\sqrt{3})^n+(2-\sqrt{3})^n,\tag{5}$ $ que: %#% $ #% que da:

$$ B_0=2,\quad B_1=4,\quad B_2=14,\quad B_{n+2}=4B_{n+1}-B_n\equiv -B_n\pmod{4}.\tag{6}$$