Suponga que tiene un conjunto finito-dimensional distribuciones $(\mu_S)_{S\in A}$ donde $A$ es el conjunto finito de subconjuntos de, digamos, $\mathbb{R}$, y se supone que te gustaría sostienen la existencia de un proceso estocástico $X$ con càdlàg (derecho-continuo con la izquierda límites) recorridos de que la familia de finito-dimensional de las distribuciones de $X$$(\mu_S)_{S\in A}$. Prueba de Kolmogorov extensión del teorema permite dividir este problema en dos partes:
Establecer la existencia de una medida en $(\mathbb{R}^{\mathbb{R}_+},\mathbb{B}^{\mathbb{R}_+})$ con la correspondiente finito-dimensional de las distribuciones (aquí, la extensión del teorema se invoca).
Utilizando el indicador construido anteriormente, sostienen la existencia de una medida en $D[0,\infty)$ - el espacio de funciones de $\mathbb{R}_+$ $\mathbb{R}$a que se haga continua con la izquierda límites - con el mismo finito-dimensional de las distribuciones.
Un ejemplo de que esta es una opción viable prueba técnica es, en la teoría de tiempo continuo de procesos de Markov en general del estado de los espacios. Para su comodidad, considere la posibilidad de una completa, separable espacio métrico (E,d), dotado con su Borel $\sigma$-álgebra $\mathbb{E}$. Supongamos dada una familia de medidas de probabilidad $(P(x,\cdot))_{x\in E}$ donde $P(x,\cdot)$ es una medida de probabilidad en $(E,\mathbb{E})$. Queremos sostienen la existencia de un càdlàg de tiempo continuo proceso de Markov con valores en $E$ $(P(x,\cdot))_{x\in E}$ sus probabilidades de transición.
El siguiente argumento es dado en Rogers & Williams: "Diffusions, Martingales y Procesos de Markov", Volumen 1, Sección III.7, y utiliza los dos pasos descritos anteriormente. En primer lugar, el test de Kolmogorov extensión del teorema se invoca para obtener una medida $P$ $(E^{\mathbb{R}_+},\mathbb{E}^{\mathbb{R}_+})$ con la deseada finito-dimensional de las distribuciones. Dejando $X$ ser la identidad en $E^{\mathbb{R}_+}$, $X$ es entonces un "no regularizados" proceso con la deseada finito-dimensional de las distribuciones. Después, en el caso de que la familia de probabilidades de transición de satisfacer ciertos criterios de regularidad, una supermartingale argumento se aplica para obtener un càdlàg versión de $X$. Este supermartingale argumento no podría haber sido de aplicación inmediata, sin la existencia de la medida $P$$(E^{\mathbb{R}_+},\mathbb{E}^{\mathbb{R}_+})$: Sin esta medida, no habría ningún candidato para un mismo espacio de probabilidad en los que se define la supermartingales aplicado en la regularidad de la prueba. Por lo tanto, no es evidente cómo obtener la misma existencia resultado sin la prueba de Kolmogorov extensión del teorema.
