En busca de pruebas de las propiedades básicas de los números reales

Question

Acabo de comenzar mi estudio de los números complejos y he aprendido donde los números imaginarios vino y su importancia. Sin embargo hay una cosa que tengo que aclarar y es que las propiedades de los números reales y sus pruebas.

1. Las Leyes De Cierre
   Para todos $a,b \in \mathbb{R}$, $a+b$, $a-b$, $ab$, $a/b$ son números reales. Por lo tanto $\mathbb{R}$ es cerrado bajo cuatro operaciones fundamentales.

2. Conmutativas Leyes
   Para todos $a,b \in \mathbb{R}$ $a+b = b+a$ y $ab = ba$.

3. Asociativas Leyes
   Para todos $a,b,c \in \mathbb{R}$ $a+(b+c) = (a+b)+c$ y $a(bc) = (ab)c$.

4. Identidad Aditiva
   Para todos los $a \in \mathbb{R}$ existe $0\in \mathbb{R}$ tal que $a+0 = 0+a = a$.

5. Inverso aditivo
   Para todos los $a \in \mathbb{R}$ existe un $b \in \mathbb{R}$ tal que $a+b = b+a = 0$, la identidad aditiva $b = -a$ es llamado el inverso aditivo o negativo de $a$.

y del mismo modo Multiplicativo de Identidad, inverso Multiplicativo, Distributiva Ley, la Ley de Tricotomía, la Transitividad de la orden, la Monotonía de la Ley de Adición, la Monotonía de la ley de la multiplicación.

Entiendo que las leyes antes mencionadas mantener buenas a lo largo de las matemáticas. Si estas leyes se acepta como verdadero "en la fe" o hay pruebas? Si sí, tengo curiosidad por conocer las pruebas. Según mi comprensión de texto no ha hablado acerca de las pruebas para estos.

Answer 1

Una de las accesibles cuenta es de Michael Spivak del libro de texto de Cálculo. Aquí un número real se define como un subconjunto $\alpha$ de los números racionales que no está vacía, bordeada por encima, y satisface $x\in\alpha\mathrm{\ and\ }y\leq x\Rightarrow y\in\alpha$. (Hay una forma natural para identificar estos números reales con números reales como normalmente pensamos de ellos contiene los racionales como un subconjunto: por ejemplo,"$\sqrt{2}$, en este sentido es la siguiente conjunto $\{x\in\mathbb{Q}:x<\sqrt{2}\}$.) A continuación, puede definir las operaciones de campo y el orden, y con paciencia muestran que esto le da a usted una completa ordenó campo (para las pruebas de las propiedades de preguntar acerca de). El detallado de las pruebas necesarias varias páginas.

Que yo recuerde, Spivak da una bastante completa de la cuenta de este, incluyendo la singularidad de una completa ordenó campo.

Answer 2

De hecho hay pruebas de la existencia y unicidad (hasta isomorfismo único) de un campo ordenado completo.

Echa un vistazo a esta pregunta por ejemplo: terminación de los números racionales a través de secuencias de Cauchy (que dio una respuesta a)

Answer 3

Te sugiero de Landau Fundamentos de análisis. A partir de los axiomas de los números naturales, el autor desarrolla los sistemas racionales, reales y números complejos. Algunas de la notación es un poco anticuado pero el tratamiento es clara y lógica y cada paso está incluido.

Answer 4

Si usted 're realmente curioso de esto, tiene un montón de requerir de conocimientos.En primer lugar, usted tiene que entender la palabra "axioma".(en el nivel de la escuela que acaba de decir "es una evidente verdad).En realidad, "axioma" tiene un amplio significado.usted debe leer esta fuente(completo):enfermedades de transmisión sexual. 9, ncert matemáticas, apéndice 1(prueba de matemáticas). Después de esto usted debe aprender de edad ncert libro de texto de clase xi, cap. 14(razonamiento matemático).Estos son los básicos. Ahora usted es capaz de entender la noción de "sistema axiomático".

En realidad en las matemáticas hay un montón de axiomática de los sistemas de.... La pregunta que te he preguntado es también ellos mismos son un conjunto de axiomas. Ellos son sólo los axiomas, usted no puede encontrar nada acerca de la prueba de esto.En realidad, estas son las una de la axiomática del sistema. No puedo explicar estas en mi respuesta, pero he aquí sólo modelo de este.

Pero hay muchos axiomática de los sistemas. Una muy famosa es Peano--Dedekind axiomas(Simplemente, axiomas de peano). En este sistema axiomático puede encontrar la prueba de su problema.Axiomas de Peano implica conmutativas leyes asociativas leyes, etc. pero sólo para los números naturales.Después de esto, usted será capaz de construir el conjunto Z de los números enteros(álgebra Abstracta:el Grupo)con la ayuda del concepto de funciones.Simillarly va a construir el conjunto de los números racionales y, a continuación, los números reales y, a continuación, puede probar los anteriores propiedades de los números reales que usted ha pedido. si quieres estudiar requiere muy matemático poderes.Mejor libro para estudiar este (según mi experiencia) es :"De los números a análisis"(Autor:Dr. Inder K Rana) Y algunos archivos pdf para su estudio :: http://public.csusm.edu/aitken_html/m378/.

Answer 5

Mayoría de los libros de cálculo y al análisis introductorio del estado estas propiedades como axiomas para los números verdaderos. (Aunque los que pusiste solo definen ordenó campos. Los números racionales también les satisface. Hay una propiedad fundamental de los números reales, completitud, que realmente define las reales únicamente). Por otro lado, hay construcciones de los números reales de los números naturales y luego estas propiedades son teoremas.