$9$ divide $n-r(n)$ donde $r(n)$ es $n$ con sus dígitos invertidos

Question

Veo en muchos sitios brasileños que, si obtienes un número y lo restas por su inverso, tendrás cero o un múltiplo de nueve. Por ejemplo:

22 - 22 = 0
51 - 15 = 36 (multiple of 9)
444 - 444 = 0
998 - 899 = 99 (multiple of 9)
1350 - 0531 = 819 (multiple of 9)
654321 - 123456 = 530865 (multiple of 9)

Escribí este código Python para probar un rango de números:

import math

for i in range(1, 1000001):
    inverse = int(str(i)\[::-1\])
    result = int(math.fabs(i - inverse))

    if result != 0 and result % 9 != 0 :
        print(result)

para ese rango parece ser cierto. Pero no he podido encontrar ningún tipo de "curiosidad matemática" similar en sitios en inglés.

Si es cierto, ¿hay alguna explicación al respecto? Porque los sitios que difunden esa información, no dan ninguna explicación.

Answer 1

Claro, ¡hay una explicación para esto! De hecho, esto no sólo es cierto cuando se invierten los dígitos de un número, sino para cualquier permutación de sus dígitos.

Para cualquier número entero $n$ , dejemos que $q(n)$ sea la suma de sus dígitos. Es un hecho que $q(n) \equiv n \mod 9$ . Sea $n'$ sea el número $n$ con sus dígitos invertidos. (O, para el caso más general que mencioné anteriormente, CUALQUIER número que resulte de permutar los dígitos de $n$ .) Entonces $q(n) = q(n')$ ya que los dígitos son los mismos, sólo que reordenados. Así que $q(n) \equiv q(n') \mod 9$ y por lo tanto $q(n) - q(n') \equiv n - n' \equiv 0 \mod 9$ o en otras palabras, $n - n'$ es divisible por 9.

Answer 2

Sugerencia $\ $ Un número entero es congruente con su suma de dígitos mod $9$ ( casting de nueves ). El dígito del número invertido es el mismo que el original, por lo que su diferencia es cero mod $\,9.\,$ Más concretamente

$${\rm mod}\ 9\!:\,\ n = P(10)\equiv \overbrace{P(1)= \bar P(1)}^{\rm digit\ sum}\equiv \bar P(10)= \bar n\,\ \Rightarrow\,\ 9\mid n-\bar n\qquad $$

donde $\,P(10) = d_n 10^n+\cdots + d_1 10 + d_0$ es el polinomio radial, por lo tanto $\,P(1) = $ suma de dígitos, y $\bar n$ = la inversión de $\,n,\,$ y $\,\bar P\,$ es el polinomio invertido (recíproco). Por tanto, la congruencia $\,P(10)\equiv P(1) = $ digit sum, la idea clave de la expulsión de nueves, no es más que un caso especial de la Regla de congruencia polinómica, una consecuencia de la polinomio forma de representación del radix.

Lo anterior implica que el resultado es válido de forma más general si en lugar de invertir los dígitos elegimos cualquier entero con la misma lista (no ordenada) de dígitos, ya que ésta tiene la misma suma de dígitos, por ejemplo, podemos permutar arbitrariamente los dígitos, insertar dígitos cero, etc.

Answer 3

Que el número sea: $\overline{a_1a_2a_3...a_n}$ ya que estamos usando el sistema de posicionamiento decimal podemos escribirlo como

$$\overline{a_1a_2a_3...a_n} = 10^{n-1}a_1 + 10^{n-2}a_2 + ... + a_n$$

Mientras que si volteamos los dígitos, entonces tendremos un número:

$$\overline{a_na_{n-1}a_{n-2}...a_1}=10^{n-1}a_n + 10^{n-2}a_{n-1} + ... + a_1$$

Ahora bien, como $10 \equiv 1 \pmod 9$ , tomando los poderes de ambas partes tenemos: $10^k \equiv 1 \pmod 9 \forall k \in \mathbb{N}$ Así que tenemos:

$$10^{n-1}a_1 + 10^{n-2}a_2 + ... + a_n \equiv a_1 + a_2 + ... + a_n \pmod 9$$

En el otro lado, simularmente:

$$10^{n-1}a_n + 10^{n-2}a_{n-1} + ... + a_1 \equiv a_n + a_2 + ... + a_1 \pmod 9$$

Réstalos y tendrás:

$$10^{n-1}a_1 + 10^{n-2}a_2 + ... + a_n - (10^{n-1}a_n + 10^{n-2}a_{n-1} + ... + a_1) \equiv a_1 + a_2 + ... + a_n - (a_n + a_2 + ... + a_1) \equiv 0 \pmod 9$$

De esto tenemos que:

$$9\mid 10^{n-1}a_1 + 10^{n-2}a_2 + ... + a_n - (10^{n-1}a_n + 10^{n-2}a_{n-1} + ... + a_1)$$ $$ \implies 9 \mid \overline{a_1a_2a_3...a_n} - \overline{a_na_{n-1}a_{n-2}...a_1}$$

De ahí la prueba.