Calcular la ventaja del no servidor en un juego de ganar por dos.

Question

En voleibol, se otorga un punto por cada "rally" y un juego se gana por el primer equipo en llegar a $N$ puntos, pero se debe ganar un juego (a veces llamado "set") por dos puntos o más. (Si un equipo llega a $N$ puntos pero el otro equipo tiene $N-1$ puntos, el juego continúa hasta que un equipo esté adelante por dos puntos). El equipo que ha ganado el último punto siempre sirve en el próximo punto. Es bien sabido que en niveles altos de juego, el lado que sirve está en desventaja en el sentido de tener una probabilidad más baja de ganar ese punto (ya que el lado que recibe tiene la primera oportunidad de "atacar").

Supongamos que dos equipos están parejamente empatados y la probabilidad de que el equipo servidor gane un punto dado es $p$ con $0

Se podría pensar que, dado que necesitas ganar un juego por dos puntos, habrá un número par de puntos jugados en cualquier juego suficientemente cerrado, y la desventaja de tener que servir primero se equilibrará. Sin embargo, este no es el caso. Por ejemplo, si $N=2$ (es decir, comienzas en igualdad y el primer equipo en estar adelante por dos puntos ganará), la probabilidad de que el servidor inicial gane es $$ S_{22} = \frac{1}{3-2p} $$ Aquí he introducido una notación: $S_{ab}$ es la probabilidad de que el servidor gane si el servidor necesita al menos $a$ puntos más y el no-servidor necesita al menos $b$ puntos más. Entonces, por ejemplo, en un juego a $N=21$, si la puntuación es $20$ sirviendo a $19$, esa posición se representaría por $S_{13}$.

Mi pregunta es, ¿para $k>2$, cuál es $S_{kk}$?

Es decir, en un juego a $N=k$, ¿cuál es la probabilidad de que el servidor inicial gane (y entonces cuánta desventaja tiene el primer saque)? Asumiría que esta probabilidad se puede obtener en forma cerrada, pero si no es así, me gustaría ver el comportamiento asintótico de $\frac12-S_{kk}$.

Cálculo de $S_{22}$:

$$S_{22} = p S_{13} + (1-p) ( (1-S_{13}) \\ S_{13} = p + (1-p) (1-S_{22} ) $$ Toma el valor de $S_{13}$ de la segunda ecuación y sustitúyelo en la primera. Agrupa términos para obtener $$ S_{22}(3p-2p^2) = p $$

Answer 1

Acabo de calcular algunos de los valores iniciales (los tengo hasta $S_{20,20}$, pero se vuelven más largos y difíciles de escribir).

$$ \begin{align}\frac12 - S_{3,3} &= \frac{(1-2p)(1 - 2p^2 + 2p^3)}{6 - 4p} \\ \frac12 - S_{4,4} &= \frac{(1-2p)(1 - 6p^2 + 16p^3 - 18p^4 + 8p^5)}{6 - 4p} \\ \frac12 - S_{5,5} &= \frac{(1-2p)(1 - 12p^2 + 52p^3 - 114p^4 + 144p^5 - 100p^6 + 30p^7)}{6 - 4p} \\ \frac12 - S_{6,6} &= \frac{(1-2p)(1 - 20p^2 + 120p^3 - 390p^4 + 808p^5 - 1100p^6 + 960 p^7 - 490p^8 + 112p^9)}{6-4p} \\ \frac12 - S_{7,7} &= \frac{(1-2p)(1 - 30p^2 + 230p^3 - 990p^4 + 2848 p^5 - 5760 p^6 + 8280 p^7 - 8330 p^8 + 5600p^9 - 2268p^{10} + 420p^{11})}{6-4p} \end{align}$$

Algunas observaciones:

1. $S_{k,k} = \frac12$ cuando $p = \frac12$ por simetría, ya que no hay diferencia entre el equipo que sirve y el que recibe. Por lo tanto, $1-2p$ aparece como un factor en los numeradores anteriores.
2. El segundo factor siempre parece tener término constante $1$ y ningún término lineal.
3. El coeficiente de $p^2$ en este segundo factor del numerador de $\frac12 - S_{k,k}$ parece ser cuadrático en $k$. De hecho, me atrevería a especular que el coeficiente de $p^r$ parece ser un polinomio de grado $r$ en $k$.

Una posible forma de abordar la cuestión asintótica es notar que en el período en el que un equipo gana el servicio hasta que pierde el siguiente servicio, el número de puntos obtenidos sigue una distribución geométrica con parámetro $p$. La única excepción es el primer tramo de servicios, cuando el equipo que sirve no comienza con un punto por haber ganado el servicio.

Por lo tanto, el número de puntos que tiene cada equipo después de $r$ intercambios de servicio se puede expresar como una suma de variables aleatorias geométricas independientes. Por lo tanto, quizás algo como el teorema del límite central podría usarse para analizar los asintóticos de $\frac12 - S_{k,k}$: ¿qué tan rápido se disipa la desventaja de ese punto inicial faltante para el equipo que sirve?

Answer 2

Esta respuesta ofrece un algoritmo crudo que calcula la probabilidad deseada para cualquier estado inicial, pero no llega a una solución en forma cerrada. No sé nada acerca de las cadenas de Markov, así que disculpa si esto complica demasiado el asunto, pero de todas maneras fue divertido trabajar en esto. :)

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La diferencia en puntajes en la $n$-ésima ronda, $C_n \equiv A_n-B_n$ se da como $$C_n=C_0+\sum_{i=1}^n a_i-\overline{a}_i$$ Aquí $C_0$ es la diferencia de puntajes en el estado inicial, $a_i =\cases{1 \quad \text{si } A \text{ anota en la }i\text{-ésima ronda} \\ 0 \quad \text{en caso contrario}}$ y $\overline{a}_i=\vert1-a_i \vert$.

Quién sirve $s_i=\cases{1 \quad \text{si } A \text{ sirve en la }i\text{-ésima ronda} \\ 0 \quad \text{en caso contrario}}$ se da por $$s_i=\begin{pmatrix}a_{i-1} &\overline{a}_{i-1}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0 & 0 \\ 1 & 1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}s_{i-1} \\ \overline{s}_{i-1}\end{pmatrix}=\overline{a}_{i-1}.$$

De la misma manera, podemos calcular la probabilidad $p_i$ para un resultado dado en la $i$-ésima ronda como

$$p_i=\begin{pmatrix}a_{i} &\overline{a}_{i}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}p & 1-p \\ 1-p & p\end{pmatrix}\begin{pmatrix}a_{i-1} \\ \overline{a}_{i-1}\end{pmatrix}.$$

Para cada ruta a $C_n=N$, donde $A$ gana, hay una probabilidad que es el producto de los estados $p_i$ para esa ruta, que está dada de manera única por el conjunto $\{a_i\}$. Sumando las probabilidades para todas esas rutas da la probabilidad de que $A$ gane.

Podemos organizar estas rutas según su longitud. La más corta es de longitud $N_0\equiv N-C_0$. Por lo tanto, tenemos

$$\boxed{P(A \text{ gana} \vert a_o)=\sum_{k=0}^\infty\sum_{j=1}^{J(k)}\prod_{i=1}^{N_0+k}p_{ji}(a_{ji},a_{ji-1})}$$ donde $a_0 =\cases{1 \quad \text{si } A\text{ sirve inicialmente} \\ 0 \quad \text{en caso contrario}}$, el producto es la probabilidad para la ruta $j$-ésima que tiene longitud $N_0+k$, y $J(k)$ es el número de maneras posibles de ir de $C_n$ a $N$ (que es lo mismo que ir de $0$ a $N_0$) que son pasos de unidad de longitud $N_0+k$.

Quizás esto sea calculable con una computadora, asumiendo que las contribuciones mayores que algún $k$ pueden ser ignoradas (el set más largo jamás (para $N=2$) fue de 87:85, en la Liga Czechoslovaca de 1979).