Calcular el servidor no ' ventaja de s en un juego de ganar-por-dos

Question

En el voleibol, un punto se concede por cada "rally" y un juego es ganado por el primer equipo para llegar a $N$ puntos, pero debe ganar un juego (a veces llamado un "set") en dos o más puntos. (Si un equipo obtiene a $N$ puntos, pero que el otro equipo ha $N-1$ puntos, el juego continúa hasta que un equipo está ganando por dos.) El equipo que ha ganado el último punto siempre sirve para el siguiente punto. Es bien sabido que un alto niveles de juego, en la porción lateral está en una situación de desventaja en el sentido de tener una menor probabilidad de ganar que el punto (desde el lado de recepción tiene la primera oportunidad de "ataque").

Digamos que los dos equipos están igualados, y la probabilidad de la porción lateral de la ganancia de un punto dado es $p$$0<p<\frac12$.

Se podría pensar que, dado que usted necesita para ganar un partido por dos puntos, habrá un número par de puntos que se juegan en cualquier suficientemente cerca de juego, y la desventaja de tener que servir primero. Este no es el caso. Por ejemplo, si $N=2$ (es decir, se inicia incluso y el primer equipo con una ventaja de dos puntos por victoria), la probabilidad de que el servidor inicial ganadora es $$ S_{22} = \frac{1}{3-2p} $$ Aquí he presentado una notación: $S_{ab}$ es la probabilidad de que el servidor de ganar si el servidor necesita, al menos, $a$ más de puntos, y no de las necesidades de servidor, al menos, $b$ más de puntos. Así, por ejemplo, en un juego de a $N=21$, si la puntuación es $20$ sirviendo a $19$, que posición estaría representado por $S_{13}$.

Mi pregunta es, para $k>2$, lo $S_{kk}$?

Es decir, en un juego de a$N=k$, ¿cuál es la probabilidad de que al iniciar el servidor va a ganar (y por lo tanto cuánto de una desventaja es el primer servicio)? Me imagino que esta probabilidad puede obtenerse en forma cerrada, pero si no, me gustaría ver el comportamiento asintótico de $\frac12-S_{kk}$.

Cálculo de $S_{22}$:

$$S_{22} = p S_{13} + (1-p) ( (1-S_{13}) \\ S_{13} = p + (1-p) (1-S_{22} ) $$ Tomar el valor de $S_{13}$ a partir de la segunda ecuación y conéctelo a la primera. Grupo de términos $$ S_{22}(3p-2p^2) = p $$

Answer 1

Sólo calculada algunos de los valores iniciales (he a $S_{20,20}$, pero se hacen más largas y más difícil de escribir).

$$ \begin{align}\frac12 - S_{3,3} &= \frac{(1-2p)(1 - 2p^2 + 2p^3)}{6 - 4p} \\ \frac12 - S_{4,4} &= \frac{(1-2p)(1 - 6p^2 + 16p^3 - 18p^4 + 8p^5)}{6 - 4p} \\ \frac12 - S_{5,5} &= \frac{(1-2p)(1 - 12p^2 + 52p^3 - 114p^4 + 144p^5 - 100p^6 + 30p^7)}{6 - 4p} \\ \frac12 - S_{6,6} &= \frac{(1-2p)(1 - 20p^2 + 120p^3 - 390p^4 + 808p^5 - 1100p^6 + 960 p^7 - 490p^8 + 112p^9)}{6-4p} \\ \frac12 - S_{7,7} &= \frac{(1-2p)(1 - 30p^2 + 230p^3 - 990p^4 + 2848 p^5 - 5760 p^6 + 8280 p^7 - 8330 p^8 + 5600p^9 - 2268p^{10} + 420p^{11})}{6-4p} \end{align}$$

Algunas observaciones:

1. $S_{k,k} = \frac12$ al $p = \frac12$ por simetría, ya que no hay diferencia entre el que sirve y el equipo receptor. Por lo tanto $1-2p$ aparece como un factor en los numeradores de arriba.
2. El segundo factor que siempre parece haber término constante $1$ y no lineal plazo.
3. El coeficiente de $p^2$ en este segundo factor del numerador de $\frac12 - S_{k,k}$ parece ser de segundo grado en $k$. De hecho, iría tan lejos como para especular que el coeficiente de $p^r$ parece ser un grado $r$ polinomio en $k$.

Un posible modo de enfoque asintótico pregunta es para nota de que en el período en el que uno gana el equipo de servicio cuando se pierde el servicio, el número de puntos ganados es una distribución geométrica con parámetro de $p$. La única excepción es el primer tramo de sirve, cuando el equipo de servicio no se inicia con un punto por haber ganado el servicio.

De ahí que el número de puntos que cada equipo tiene después de $r$ intercambios de servicio puede ser expresada como una suma de independiente geométricas variables aleatorias. De ahí quizás algo como el teorema del límite central podrían ser utilizados para analizar la asymptotics de $\frac12 - S_{k,k}$: ¿con qué rapidez la desventaja de que falta el punto inicial para disipar el equipo que sirve?

Answer 2

Esta respuesta ofrece un crudo algoritmo que calcula la probabilidad deseada para cualquier estado inicial, pero no llegar a una solución de forma cerrada. No sé nada acerca de las cadenas de Markov, así que lo siento si esta demasiado complica el asunto, pero fue muy divertido trabajar de cualquier manera. :)

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La diferencia en las puntuaciones en el $n$th ronda, $C_n \equiv A_n-B_n$ es dado como $$C_n=C_0+\sum_{i=1}^n a_i-\overline{a}_i$$ Aquí $C_0$ es la diferencia en la puntuación en el estado inicial, $a_i =\cases{1 \quad \text{if }A\text{ scores in the }i\text{th round} \\ 0 \quad \text{otherwise}}$$\overline{a}_i=\vert1-a_i \vert$.

Que tiene el servir a $s_i=\cases{1 \quad \text{if }A\text{ has the serve in the }i\text{th round} \\ 0 \quad \text{otherwise}}$ está dado por $$s_i=\begin{pmatrix}a_{i-1} &\overline{a}_{i-1}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0 & 0 \\ 1 & 1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}s_{i-1} \\ \overline{s}_{i-1}\end{pmatrix}=\overline{a}_{i-1}.$$

De la misma manera, podemos calcular la probabilidad de $p_i$ para un determinado resultado en el $i$th ronda como

$$p_i=\begin{pmatrix}a_{i} &\overline{a}_{i}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}p & 1-p \\ 1-p & p\end{pmatrix}\begin{pmatrix}a_{i-1} \\ \overline{a}_{i-1}\end{pmatrix}.$$

Para cada ruta a $C_n=N$ donde $A$ gana, hay una probabilidad que es el producto de los estados $p_i$ para esa ruta, que está dada únicamente por el conjunto de $\{a_i\}$. La adición de las probabilidades de todas estas rutas le da la probabilidad de que $A$ gana.

Podemos organizar estas rutas después de cuánto tiempo están. El menor es $N_0\equiv N-C_0$ largo. Por lo tanto, tienen

$$\boxed{P(A \text{ wins}\vert a_o)=\sum_{k=0}^\infty\sum_{j=1}^{J(k)}\prod_{i=1}^{N_0+k}p_{ji}(a_{ji},a_{ji-1})}$$ donde $a_0 =\cases{1 \quad \text{if }A\text{ serves initially} \\ 0 \quad \text{otherwise}}$, el producto es la probabilidad de que el $j$th ruta que tiene una longitud de $N_0+k$, e $J(k)$ es el número de formas posibles de $C_n$ $N$(que es el mismo que el de $0$$N_0$) que se $N_0+k$ unidad de pasos de largo.

Este es, quizás, calculable con un equipo, asumiendo que las contribuciones más grande que algunos de $k$ puede ser ignorado (el más largo del conjunto de la historia (para $N=2$) fue del 87:85, en la Checoslovaquia de la Liga de 1979).