Grupo de cociente aditivo $\mathbb{Q}/\mathbb{Z}$ es isomorfo al grupo multiplicativo de raíces de la unidad

Question

Me gustaría demostrar que el grupo cociente aditivo $\mathbb{Q}/\mathbb{Z}$ es isomorfo al grupo multiplicativo de raíces de la unidad.

Ahora cada $X \in \mathbb{Q}/\mathbb{Z}$ es de la forma $\frac{p}{q} + \mathbb{Z}$ para $0 \leq \frac{p}{q} < 1$ para un único $\frac{p}{q} \in \mathbb{Q}.$ Esto sugiere tomar el mapa $f:\mathbb{Q}/\mathbb{Z} \mapsto C^{\times}$ definido con la regla $$f(\frac{p}{q} + \mathbb{Z}) = e^{\frac{2\pi i p}{q}}$$ donde $\frac{p}{q}$ es el mencionado representante.

De alguna manera tengo problemas para demostrar que se trata de una función biyectiva de manera formal. Sospecho que no conozco suficientemente bien las propiedades de las raíces complejas de la unidad.

¿Puede alguien indicarme (quizás con una pista) cómo demostrar que $f$ es inyectiva y sobreyectiva?

Answer 1

¡Sea canónico!

Se tiene un morfismo de grupos $ex:\mathbb R \to S^1: r\mapsto e^{2i\pi r} $ , donde $S^1$ es el grupo multiplicativo de los números complejos con $\mid z\mid=1$ . Este morfismo es suryente y tiene núcleo $\mathbb Z$ .
[El deseo de tener un núcleo $\mathbb Z$ en lugar de $ 2\pi \mathbb Z$ dictó la elección de $ex(r)=e^{2i\pi r}$ en lugar de $e^{ir}$ ].

Restringiendo el morfismo a $\mathbb Q$ induce un morfismo $res(ex):\mathbb Q\to S^1$ con núcleo $\mathbb Q\cap \mathbb Z=\mathbb Z$ e imagen $\mu_\infty\stackrel {def}{=} e^{2i\pi \mathbb Q} \subset S^1$ .
La observación crucial es que esta imagen es $\mu_\infty=\bigcup_n \mu_n$ , donde $\mu_n$ es el conjunto de $n$ -raíces de la unidad $e^{\frac {2i\pi k}{n}}\quad (k=1,2,...,n)$ .
Por lo tanto, $\mu_\infty$ es el conjunto de todas las raíces de la unidad es decir el conjunto de los números complejos $z \in \mathbb C$ con $z^n=1$ para algunos $n\in \mathbb N^*.$

Aplicando el isomorfismo de Noether se obtiene finalmente el isomorfismo de grupo requerido (hay que estar atentos a la presencia y ausencia sucesiva de una barra sobre el $q$ en la fórmula) $$Ex: \mathbb Q/\mathbb Z \xrightarrow {\cong} \mu_\infty:\overline {q}\mapsto e^{2i\pi q} $$

Una nota cultural
Este isomorfismo elemental es en realidad útil en matemáticas bastante avanzadas.Lo encontrará, por ejemplo, en la obra de Grothendieck Clases de Chern y representaciones lineales de grupos discretos .

Answer 2

Para demostrar que es una biyección, se pueden utilizar métodos bastante "primitivos". supongamos que:

$f\left(\frac{p}{q} + \Bbb Z\right) = f\left(\frac{p'}{q'} + \Bbb Z\right)$ ,

entonces: $e^{2\pi ip/q} = e^{2\pi ip'/q'}$ Así que $e^{2\pi i(p/q - p'/q')} = 1$ .

Esto, a su vez, significa que $\frac{p}{q} - \frac{p'}{q'} \in \Bbb Z$ , por lo que los cosets son iguales. Por lo tanto, $f$ es inyectiva.

Por otro lado, si $e^{2\pi i p/q}$ es cualquier $q$ -raíz de la unidad, tiene claramente la preimagen $\frac{p}{q} + \Bbb Z$ en $\Bbb Q/\Bbb Z$ (así $f$ es suryente).

Sin embargo, hay una advertencia. Usted no ha demostrado realmente $f$ es una función (es decir, que está bien definida, aunque si te fijas bien en lo anterior, seguro que se te ocurre).

Answer 3

Definir $\,f: \Bbb Q\to S^1:=\{z\in \Bbb C\;:\;|z|=1\}\,\,,\,f(q):=e^{iq}\,$ , demostrar que se trata de un homomorfismo de grupos, encontrar su núcleo y utilizar el teorema del primer isomorfismo.