Construir series

Question

¿Hay dos secuencias no negativo, monótona ${\{a_n\}}$ y ${\{b_n\}}$, s.t. $\sum{a_n}$y $\sum{b_n}$ divergen, pero converge $\sum{min{(a_n,b_n)}}$?

Supongo que la velocidad de convergencia debe ser cuidadosamente controlada, pero no pude encontrar tales secuencias. Gracias de antemano por cualquier ayuda.

Answer 1

Sí hay dos tales secuencias. No es fácil escribir una fórmula explícita para las condiciones generales, sin embargo. Esta es una de las construcciones posibles:

1. Añadir términos de #% de %#% a ambas series. Los términos de $(2n)!$ deben todo igual $\{a_i\}$, y deben ser igual a los de $1\over(2n+1)!$ $\{b_i\}$.
2. Añadir términos de #% de %#% a ambas series. Los términos de $1\over(2n+2)!$ deben todo igual $(2n+1)!$, y ésos de $\{a_i\}$ debe otra vez igual $1\over(2n+3)!$.
3. Incremento $\{b_i\}$ y repetir.

Answer 2

Esto es posible. Deje $d_1=1, d_{i+1}=d_i^2+d_i, i \ge 1$. Obviamente, $d_i$ es estrictamente monótona creciente. Para cualquier $n > 0$, vamos a $f(n)$ el índice de $i$$d_i \le n < d_{i+1}$.

Ahora vamos a definir nuestra serie':

$$ a_n:= \begin{cases} \frac1{n^2} & \text{if } f(n) \text{ is even}\\ \frac1{d_{f(n)}^2} & \text{if } f(n) \text{ is odd}\\ \end{casos} $$

$$ b_n:= \begin{cases} \frac1{n^2} & \text{if } f(n) \text{ is odd}\\ \frac1{d_{f(n)}^2} & \text{if } f(n) \text{ is even}\\ \end{casos} $$

Subdividimos los enteros en intervalos de $[d_i,d_{i+1})$$n \in [d_i,d_{i+1})$$s(x)=\frac1{x^2}$, la serie toma el valor de $s(n)$ o $s(d_i)$, dependiendo de la $i$ ser par o impar.

Esto demuestra que tanto el $a_n,b_n$ son monótonamente decreciente. También tenemos $\min(a_n,b_n)=\frac1{n^2}$, lo que significa que $\sum \min(a_n,b_n)$ converge.

OTOH, para cada intervalo de $[d_i,d_{i+1})$ con extraña $i$, tenemos

$$ \sum_{n=d_i}^{d_{i+1}-1} a_n = \sum_{n=d_i}^{d_{i+1}-1} \frac1{d_i^2} = (d_{i+1} - d_i)\frac1{d_i^2}= d_i^2\frac1{d_i^2} = 1,$$

debido a la definición de $d_i$. Así que la serie $\sum a_n$ tiene una infinidad de distintos finito de partes que se suma a 1, lo que significa que la suma diverge. El mismo argumento (para $i$)$\sum b_n$.