¿Se relaciona esta suma con el Gregory ' límite de s?

Question

Calcular la serie

$$\sum_{k=0}^{\infty}\left(\frac{1}{4k+1} - \frac{1}{4k+2}\right)$$

Answer 1

Y más generalmente, si $a+b+c+d=0$, $$\sum_{k=0}^\infty \left(\dfrac{a}{4k+1} + \dfrac{b}{4k+2}+\dfrac{c}{4k+3}+\dfrac{d}{4k+4}\right) = \dfrac{a-c}{8} \pi + \dfrac{a+c-2d}{4} \ln(2) $ $

Editar: la generalización es que enteros positivos $n$, si \sum_{k=1}^\infty \sum_{j=0}^{n-1 #% entonces $$ %#%} \dfrac{a_j}{nk-j} = - \frac{1}{n} \sum_\omega \sum_{j=0}^{n-1} a_j \omega^j \ln(1-\omega)$ $ donde la suma es sobre todas las $\sum_{j=0}^{n-1} a_j = 0$' raíces del th de la unidad excepto $n$.