¿Como ustedes saben $\sum_{n=1}^k \ln(n) =\ln(k!)$ existe una fórmula para $\sum_{n=1}^k \ln(n)^m$?
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Anthony Shaw
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858
La Fórmula de la suma de Euler-Maclaurin proporciona la aproximación asintótica:
$$\begin{align} \sum_{n=1}^k\log(n)^m &\sim k\left(\log(k)^m-m\log(k)^{m-1}+m(m-1)\log(k)^{m-2}-\dots+(-1)^mm!\right)\\ &+\frac12\log(k)^m+C+\frac{m}{12k}\log(k)^{m-1}+O\left(\frac{\log(k)^{m-1}}{k^3}\right) \end {Alinee el} $$ el % constante $C$depende de $m$ y debe determinarse por separado. $m=1$, Approsimation de Stirling dice que $C=\frac12\log(2\pi)$.
Jorrit Reedijk
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129
En 2010 había trabajado fuera una receta de cómo suma igual-poderes-de-consecutivos-logaritmos con la misma idea básica como en el de Bernoulli/Faulhaber-ansatz para la igualdad de poderes-de-consecutivos-enteros.
Se emplea el uso de Carleman- y Neumann-matrices y una idea que he encontrado impreso en un artículo de P Walker[91](ref. ver al final del artículo), pero fue redescubierto en la discusión de tetration para el Pseudo-inversión de un noninvertible infinito de la matriz.
Mientras que esto es sólo experimental y aproximar por $32x32$ resp $64x64$-matrices (en lugar de infinito tamaño) da finalmente el líder de los coeficientes de potencia de la serie de las expresiones
$$s_c(\log(a),\log(b)) = \sum_{k=a}^{b} \log(k)^c =\log(a)^c+\log(a+1)^c+...+ \log(b)^c $$
por una función auxiliar con coeficientes de $h_{r,c}$
$$ h_c(x) = \sum_{r=0}^\infty x^r \cdot h_{r,c} $$
y
$$s_c(\log(a),\log(b)) = h_c(\log(a))-h_c(\log(b+1)) $$
y es explícitamente con $x=\log(a)$ $y=\log(b+1)$
$$ s_c(x,y) = \sum_{k=1}^\infty (x^k-y^k) \cdot h_{r,c} $$
(Nota 1: debido a la constante en $k=0$ $h(x)$ cancela, sólo tenemos que empezar en el índice k=1)
(Nota 2: $h_c(0)$ que es igual a $h_c(log(1))$ solo dar la (regularizado) infinita suma de $\log(1)^c+\log(2)^c+\log(3)^c+\ldots$ $c$'th derivado de la zeta en cero: $\zeta^{(c)}(0)$)
La matriz $H$ (donde $r$ $c$ el valor de fila y de columna, empezando de cero) leer a lo largo de sus columnas da que los coeficientes de $h_{r,c}$ para la alimentación de la serie $h_c()$ $$\pequeño \begin{array} {rrrrr} h_0() & h_1() & h_2()&h_3()&h_4() \\ \hline -1/2, & -0.91893853& -2.0063565& -6.0047112& -23.997103 \\ -1.0000000 & 0.57721566 & -0.14563169 & -0.029071090 & 0.0082153377 \\ -0.50000000 & -0.53385920 & 0.63456997 & -0.18581113 & -0.060502531 \\ -0.16666667 & -0.32557879 & -0.38685888 & 0.67130432 & -0.21049260 \\ -0.041666667 & -0.12527414 & -0.24071138 & -0.31275691 & 0.69581026 \\ -0.0083333333 & -0.033725651 & -0.099162025 & -0.19189685 & -0.26703502 \\ -0.0013888889 & -0.0068593536 & -0.028473038 & -0.081466529 & -0.16031194 \\ -0.00019841270 & -0.0011726081 & -0.0059237927 & -0.024525073 & -0.068911838 \\ -0.000024801587 & -0.00018318327 & -0.00098840226 & -0.0052803372 & -0.021431797 \\ -0.0000027557319 & -0.000022576504 & -0.00016200352 & -0.00086132363 & -0.0047789811 \\ -0.00000027557319 & -0.0000015258454 & -0.000024146726 & -0.00013673423 & -0.00077672072 \\ -0.000000025052108 & -0.00000027560637 & -0.0000012164517 & -0.000024208043 & -0.00011516519 \end{array} $$ y algunos pequeños experimentos con las evaluaciones de $s_0(x,y),s_1(x,y),s_2(x,y),...$ donde $x=\log(2)$ $y=\log(4)$ de tal manera que tenemos $$\begin{eqnarray} s_0(x,y) &=& \log(2)^0 +\log(3)^0 +\log(4)^0 & =3\\ s_1(x,y) &=& \log(2) +\log(3) +\log(4) & \\ s_2(x,y) &=& \log(2)^2 +\log(3)^2 +\log(4)^2 & \\ ... &=& ...\\ s_{20}(x,y) &=& \log(2)^{20}+log(3)^{20}+\log(4)^{20} & \\ \end{eqnarray}$$ da notable buenas aproximaciones cuando la matriz/serie cálculo se basa en el truncamiento del tamaño de $64x64$ (aun $32x32$ parece ser suficiente para la precisión mostrada): $$\pequeño \begin{array} {r|llr} c & \text{by series} & \text{by finite sum} &\text{error}\\ \hline 0 & 3.00000000000 & 3 & -1.43995490313E-80 \\ 1 & 3.17805383035 & 3.17805383035 & -3.53953620855E-25 \\ 2 & 3.60921403040 & 3.60921403040 & 7.36584905152E-25 \\ 3 & 4.32319082804 & 4.32319082804 & 9.69440142925E-24 \\ 4 & 5.38092246992 & 5.38092246992 & -9.80800381594E-23 \\ 5 & 6.88046588450 & 6.88046588450 & 4.67474407314E-22 \\ 6 & 8.96704590737 & 8.96704590737 & -1.14897898370E-21 \\ 7 & 11.8482905963 & 11.8482905963 & -5.40205206727E-22 \\ 8 & 15.8162546226 & 15.8162546226 & 1.68862757825E-20 \\ 9 & 21.2785746057 & 21.2785746057 & -6.66022792495E-20 \\ 10 & 28.8020909611 & 28.8020909611 & 8.57381760430E-20 \\ 11 & 39.1736180459 & 39.1736180459 & 3.42695111767E-19 \\ 12 & 53.4843938902 & 53.4843938902 & -1.93910736674E-18 \\ 13 & 73.2472921633 & 73.2472921633 & 2.90694223029E-18 \\ 14 & 100.559407248 & 100.559407248 & 8.45942723476E-18 \\ 15 & 138.327508405 & 138.327508405 & -4.65886293588E-17 \\ 16 & 190.580627020 & 190.580627020 & 4.31226340552E-17 \\ 17 & 262.903420445 & 262.903420445 & 2.80945299213E-16 \\ 18 & 363.036956764 & 363.036956764 & -9.15786903334E-16 \\ 19 & 501.711586276 & 501.711586276 & -5.29715318822E-16 \\ 20 & 693.801547683 & 693.801547683 & 8.08552472457E-15 \\ 21 & 959.925588861 & 959.925588861 & -7.94115573619E-15 \\ 22 & 1328.66589168 & 1328.66589168 & -5.25630313408E-14 \\ 23 & 1839.64414543 & 1839.64414543 & 1.22429416432E-13 \end{array} $$
[actualización]:
Dos ejemplos de por qué esto es (aunque hipotéticamente) una "exacta" de la solución.
0) Primer vistazo a la columna de $c=0$ que debe proporcionar la solución para $$ \begin{array}{rll} s_0(\log(a),\log(b)) &= h_0(\log(a))-h_0(\log(b+1)) \\ &=\sum_{k=a}^{b} \log(a)^0 + \log(a+1)^0 + ... + \log(b)^0 \\ & = 1+1+...+1 \\ &= b+1-a \end{array}$$ Mirando el (empíricamente encontrar los coeficientes de la primera columna de $H$ vemos que aparecen a la forma exponencial de la serie de definir $$h_0(x) = C - (\exp(x)-1) \qquad \qquad \text{ where } C=-1/2=\zeta(0) $$ y por lo tanto $$ h_0(\log(a))-h_0(\log(b+1)) = (C - (a-1)) - (C - ((b+1)-1)) = b+1 -a $$ cual es el valor esperado.
1) en cuanto a la (empíricamente encontrar los coeficientes de la segunda columna de $H$ vamos a ver, que parece que forma el poder de la serie de definir $$h_1(x) = C - (\log(\Gamma(\exp(x))) \qquad \qquad \text{where} C= \zeta'(0)$$ y por lo tanto $$ h_1(\log(a))-h_1(\log(b+1)) = (C - \log(\Gamma(a))) - (C - \log(\Gamma(b+1))) \\ = -\log( 1\cdot 2 \cdot 3 \cdot \ldots \cdot a-1) +\log( 1\cdot 2 \cdot 3 \cdot \ldots \cdot b) \\ = \log(a) + \log(a+1) + ... + \log(b) $$ que es de nuevo el valor esperado.
Las entradas en las columnas siguientes permitir que el mismo esquema (con $C$, el más alto de los derivados de la $\zeta$ a cero), pero aún no son conocidas en el poder de la serie de expresiones de la documentadas las funciones más comunes, y debido a que son "nuevas", no tengo otro ejemplo de este estilo de argumentación de las otras columnas.
El problema con esto (relativas a la exactitud de los resultados) es que el hypothese, que los involucrados Walker "Pseudo"-matriz de inversión devuelve el resultado correcto cuando el tamaño de la matriz se extiende hacia el infinito, aún no ha sido probada.
[Walker91] Walker, P. L. (1991). En las soluciones de una {Un}belian funcional de la ecuación. J. Math. Anal. Appl., 155(1), 93-110, consulte la página 108-109
