Si queremos imitar el caso de los naturales de la topología en la real afín espacios: voy a trabajar en el esquema de configuración y voy a usar el Čech cohomology!
Empiezo a de $\mathbb{A}^1_{\mathbb{R}}\equiv\mathbb{A}^1$; deje $X_1=\mathbb{A}^1\setminus\{(x_1)\}$, a través de Rabinowitsch del truco se puede probar que $X_1$ es isomorfo a una hipérbola $H=V(xy-1)\subset\mathbb{A}^2$, en otras palabras $X_1$ es una variedad afín.
Recuerdo la Serre el Criterio para la affiness de un esquema (ver [B], el teorema de 7.7.8).
Deje $S$ ser un cuasi-sistema compacto. $S$ es afín a si y sólo si para cualquier cuasi coherente $\mathcal{O}_S$-módulo de $\mathcal{F}$ ha $H^1(S,\mathcal{F})=0$.
En particular, sin cambiar el nombre, $H^1\left(X_1,\mathcal{O}_{X_1}\right)=0$.
De nuevo, recuerdo que para cualquier esquema de $S$ cualquier $\mathcal{O}_S$-módulo de $\mathcal{F}$, $H^1(S,\mathcal{F})$ es en bijection con $\check{H}^1(S,\mathcal{F})$; por lo tanto, me inició en el estudio de $\check{H}^1\left(X_n,\mathcal{O}_{X_n}\right)$ cualquier $n\geq2$ donde $X_n=\mathbb{A}^n_{\mathbb{R}}\setminus\{(x_1,\dots,x_n)\}$.
Primero de todo, el $X_n$'s no son afines, para $n\geq2$; debido a que no son el espectro de $\mathcal{O}_{X_n}(X_n)$!
De hecho, vamos a $\mathcal{U}=\{D(x_k)\subset\mathbb{A}^n\}_{k\in\{1,\dots,n\}}$ un afín abrir la cubierta de $X_n$ donde $D(x_k)=Spec\mathbb{R}[x_1,\dots,x_n]_{x_k}$; teniendo en cuenta la Čech cocomplex:
\begin{equation}
0\to C^0\left(\mathcal{U},\mathcal{O}_{X_n}\right)\stackrel{d_0}{\longrightarrow}C^1\left(\mathcal{U},\mathcal{O}_{X_n}\right)\stackrel{d_1}{\longrightarrow}\dots
\end{equation}
donde:
$C^q\left(\mathcal{U},\mathcal{O}_{X_n}\right)=\displaystyle\prod_{1\leq i_1<\dots<i_{q+1}\leq n}\mathcal{O}_{X_n}\left(D\left(x_{i_1}\dots x_{i_{q+1}}\right)\right)$,
$\left(d^qf\right)_{i_1\dots i_{q+2}}=\displaystyle\sum_{j=1}^{q+2}(-1)^{j+1}f_{i_1\dots\widehat{i_j}\dots i_{q+2}\displaystyle|D\left(x_{i_1}\dots x_{i_{q+2}}\right)}$.
Trivialmente:
\begin{gather*}
\mathcal{O}_{X_n}(X_n)\cong\check{H}^0\left(\mathcal{U},\mathcal{O}_{X_n}\right)=\ker d^0=\\
=\left\{(f_1,\dots,f_n)\in\mathcal{O}_{X_n}\left(D\left(x_1\right)\right)\times\dots\times\mathcal{O}_{X_n}\left(D\left(x_n\right)\right)\mid\\
\forall h\neq k\in\{1,\dots,n\},\,f_{h\displaystyle|D(x_hx_k)}=f_{k\displaystyle|D(x_hx_k)}\right\}=\bigcap_{i=1}^n\mathcal{O}_{X_n}(D(x_i))=\mathbb{R}[x_1,\dots,x_n].
\end{reunir*}
En este punto, se puede afirmar que $X_1$ no es isomorfo a$X_n$$n\geq2$; es decir, $\mathbb{A}^1$ no puede ser isomorfo a$\mathbb{A}^n$$n\geq2$.
En consecuencia a Serre del criterio:
\begin{equation*}
\forall n\geq2,\,H^1\left(X_n,\mathcal{O}_{X_n}\right)\neq0;
\end{ecuación*}
entonces, ¿qué es $H^1\left(X_n,\mathcal{O}_{X_n}\right)$'s? La respuesta es un poco complicada...
Entonces puedo cambiar de estrategia: por construcción $\forall n\geq1,q\geq n,\,C^q\left(\mathcal{U},\mathcal{O}_{X_n}\right)=0$ y, por tanto,$\forall n\geq1,q\geq n,\,\check{H}^q\left(\mathcal{U},\mathcal{O}_{X_n}\right)=0$; en particular:
\begin{equation*}
\forall n\geq1,\,\check{H}^{n-1}\left(\mathcal{U},\mathcal{O}_{X_n}\right)=\ker d^{n-1}_{\displaystyle/\operatorname{Im}d^{n-2}}=\mathcal{O}_{X_n}\left(D(x_1\dots x_n)\right)_{\displaystyle/\operatorname{Im}d^{n-2}}.
\end{ecuación*}
Recuerdo una Leray del teorema (ver [B], el teorema de 7.7.5)
Deje $\mathcal{U}$ ser un cubrimiento de un esquema de $X$ $\mathcal{F}$ $\mathcal{O}_X$- módulo. Suponga $H^q(U,\mathcal{F})=0$ cualquier $q\geq1$ y para cualquier intersección finita $U$ de los conjuntos en $\mathcal{U}$; después de la canónica de mapa de $\check{H}^q(\mathcal{U},\mathcal{F})\to\check{H}^q(X,\mathcal{F})$ es bijective para todos los $q\geq0$.
y del teorema de Serre (ver [FOAG], teorema de 18.2.4)
Deje $S$ ser afín esquema sobre un anillo de $R$. Luego de cuasi coherente $\mathcal{O}_S$-módulo de $\mathcal{F}$, uno ha $\forall q\geq1,\,\check{H}^q(S,\mathcal{F})=0$.
Por Serre del teorema, $\mathcal{U}$ satisface la hipótesis de Leray del teorema y, a continuación,
\begin{equation*}
\forall n\geq1,\,\check{H}^{n-1}\left(X_n,\mathcal{O}_{X_n}\right)\cong\check{H}^{n-1}\left(\mathcal{U},\mathcal{O}_{X_n}\right)=\mathcal{O}_{X_n}\left(D\left(x_1\dots x_n\right)\right)_{\displaystyle/\operatorname{Im}d^{n-2}}
\end{ecuación*}
donde $\mathcal{O}_{X_n}\left(D\left(x_1\dots x_n\right)\right)=\mathbb{R}[x_1,\dots,x_n]_{x_1\dots x_n}$.
De la construcción:
\begin{gather*}
C^{n-2}\left(\mathcal{U},\mathcal{O}_{X_n}\right)\ni\left(\frac{f_1}{x_2^{\alpha_{1,2}}\dots x_n^{\alpha_{1,n}}},\frac{f_2}{x_1^{\alpha_{2,1}}x_3^{\alpha_{2,3}}\dots x_n^{\alpha_{2,n}}},\dots,\frac{f_n}{x_1^{\alpha_{n,1}}\dots x_{n-1}^{\alpha_{n,n-1}}}\right)\mapsto\sum_{j=1}^n(-1)^{j+1}\frac{f_jx_j}{x_1^{\alpha_{j,1}}\dots x_j\dots x_n^{\alpha_{j,n}}}\in C^{n-1}\left(\mathcal{U},\mathcal{O}_{X_n}\right);
\end{reunir*}
en otras palabras:
\begin{equation*}
a,b\in\mathbb{R}[x_1,\dots,x_n]_{x_1\dots x_n},\,[a]=[b]\in\check{H}^{n-1}\left(\mathcal{U},\mathcal{O}_{X_n}\right)\iff a-b=\sum_{\underline{i}\in(\mathbb{N}_0)^n\setminus\{\underline{0}^n\}}\frac{r_{\underline{i}}}{x^{\underline{i}}}
\end{ecuación*}
donde:
$r_{\underline{i}}\in\mathbb{R}$,
para cualquier $\underline{i}=(i_1,\dots,i_n)\in(\mathbb{N}_0)^n,\,x^{\underline{i}}=x_1^{i_1}\dots x_n^{i_n}$;
entonces:
\begin{equation*}
\forall n\geq2,\,\check{H}^{n-1}\left(X_n,\mathcal{O}_{X_n}\right)=\bigoplus_{\underline{i}\in(\mathbb{N}_0)^n\setminus\{\underline{0}^n\}}x^{-\underline{i}}\mathbb{R}.
\end{ecuación*}
Deje $n>m\geq2$, $X_n$ no es isomorfo a $X_m$ debido a que, por el anterior razonamiento, $\check{H}^{n-1}\left(X_n,\mathcal{O}_{X_n}\right)\neq\check{H}^{n-1}\left(X_m,\mathcal{O}_{X_m}\right)=0$; en consecuencia, $\mathbb{A}^m$ no puede ser isomorfo a $\mathbb{A}^n$.
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Bibliografía
[B] S. Bosch - Geometría Algebraica y Álgebra Conmutativa (2013), Springer Verlag.
[FOAG] R. D. Vakil - Fundamentos de la Geometría Algebraica (2015), en la línea de notas de la conferencia disponible aquí.
