Tiene

Question

Deje $\{a_n\}$ ser una secuencia de positivos los números reales tales que a $\lim_{n\to \infty} \sigma_n=0$ donde $\sigma_n=\left(\sum_{k=1}^n a_k\right)/n$.

Qué $\lim_{n} \sigma_n=0\implies \lim_n a_n=0$?

Siento que esto debe ser así, pero no puedo encontrar una prueba de esto, ni puedo encontrar un contraejemplo. He intentado a mi lado en la prueba de la siguiente manera:

Desde $a_n=n\sigma_n-(n-1)\sigma_{n-1},\ n\ge 2$,$\lim_n a_n/n=0$. Además, no es difícil probar que $\lim\inf_n a_n=0,\ L:=\lim\sup_n\ge 0$. Pero luego me he atascado.

Yo realmente apreciaría corto sugerencias, en lugar de una respuesta completa. Gracias de antemano.

Answer 1

Sugerencia:

Tener en cuenta $a_n = 1$ al $n$ es un cuadrado perfecto y $a_n=0$ $n$ no es un cuadrado perfecto.

Mostrar que en este caso usted tiene $$\sigma_n =\frac{\lfloor \sqrt{n} \rfloor}{n}$ $

Nota que si por positivo sea estrictamente positivo, entonces puede Agregar $a_n$ a cualquier secuencia positiva convergente a 0: $\frac{1}{n}+a_n$ va a hacer.

Answer 2

Esto se llama Cesàro convergencia. Para una secuencia $a_n$, definir $\sigma_n = \frac{1}{n}\sum_{k=1}^n a_k$. Entonces (I) implica (II): $$ {\rm(I)}\qquad a_n \a L \\ {\rm(II)}\qquad \sigma_n \a L $$ Pero "en general" (II) no implica (I). [Ver las otras respuestas.] Pero bajo "ciertas condiciones", (II) implica (I). Tal condición puede ser conocido como un Tauberian condición.

Ref: https://en.wikipedia.org/wiki/Abelian_and_tauberian_theorems