Quiero encontrar algunas $m \times n$ (donde $m>n$) matrices que tengan la propiedad de que cualquier submatriz con $n$ filas tenga rango completo. Las matrices de Vandermonde y Cauchy son las únicas dos matrices que conozco. ¿Puede darme algunas otras matrices?
P.S. Olvidé mencionar que las entradas en las matrices deben ser enteros, y el campo base es un campo infinito.
Deja que las entradas sean $\sqrt{p_i}$ para primos distintos $p_i$.
EDICIÓN: Parece que las entradas deben ser enteros. Si los consideras como miembros distintos de una secuencia que crece lo suficientemente rápido, tal vez $10^{10^{k!}}$ para $1\le k\le mn$, entonces ninguna submatriz de $n\times n$ puede ser singular. Ya que cualquier matriz de tal tipo tendrá una entrada mucho más grande que todas las demás, así que si evalúas el determinante expandiendo a lo largo de la fila o columna que contiene esa entrada, el coeficiente de esa entrada tendría que ser cero para que el determinante se anule; pero ese coeficiente es un determinante de $n-1\times n-1$, y la inducción toma el control.
Considere una submatriz $ n \times n $. Calcule su determinante expandiendo a lo largo de la primera fila. Obtiene una combinación lineal de las entradas de la primera fila que es cero, pero los elementos en la primera fila son linealmente independientes sobre el campo generado por las otras entradas, por lo que todos los coeficientes deben ser cero. Los coeficientes son determinantes de orden $ n-1 $, así que ganamos por inducción en $ n $.
@GerryMyerson las entradas son enteros, lo siento que no lo mencioné antes. Supongo que si las entradas son números irracionales distintos, la matriz tiene rango completo y simplemente proporcionas un método para generarlos, ¿verdad?
La Matriz de Moore es similar a la matriz de Vandermonde y tiene un rango completo, pero es más generalizada.
El determinante Wronskiano se puede utilizar para generar matrices de rango completo.
¿Si restringimos las entradas son de campo finito, todavía es posible aplicar el determinante de Wronskian para generar matrices de rango completo?
@Idonknow ¡Gracias por mencionarme! Francamente, no sé si el determinante de Wronskian se puede usar para generar matrices completas o no, pero la matriz de Moore y el determinante de Wronskian es lo máximo que puedo conseguir, así que si tienes alguna idea mejor o más información sobre la aplicación del determinante de Wronskian en un campo, por favor avísame. Muchas gracias.
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¿Cuál es el campo base?
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@azimut, ¿Influirá el campo base en el resultado? Hasta donde yo sé, una matriz de Vandermonde tiene una rango completo en un campo finito al igual que en un campo infinito.
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Sobre un campo finito, solo hay un número finito de vectores de fila diferentes de longitud $n$. Por lo tanto, la matriz que necesita no existe cuando $m$ es suficientemente grande.
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@user1551 Tienes razón. Cuando $m$ es menor que el tamaño del campo, la matriz no puede ser encontrada. Pero si $m$ es grande, las entradas se pueden obtener de un campo finito más grande. Así que para simplificar, cambio el campo base al campo infinito y supongo que no afecta el resultado.
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Con $m = n + 1$, una matriz identidad de $n\times n$ con una fila de todos $1$'s. De hecho, cualquier matriz invertible de $n\times n$, añadida por una fila que es una combinación lineal de las primeras $n$ filas usando pesos que no son todos cero.
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@alex.jordan Gracias, pero simplemente me diste un ejemplo de la matriz de Vandermonde.
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@foool Solo para comprobar si mi memoria funcionaba, busqué matriz de Vandermonde y ese ejemplo no es una VM estándar. Es una "VM confluyente", algo que no había escuchado antes.