Simulando la convergencia en probabilidad a una constante

Question

Asintótica resultados no pueden ser probadas por la simulación de ordenador, porque son declaraciones que involucran el concepto de infinito. Pero deberíamos ser capaces de obtener una sensación de que las cosas realmente marzo de la manera en que la teoría nos dice.

Considerar el resultado teórico $$\lim_{n\rightarrow\infty}P(|X_n|>\epsilon) = 0, \qquad \epsilon >0$$

donde $X_n$ es una función de $n$ variables aleatorias, decir de forma idéntica e independientemente distribuidos. Esta dice que el $X_n$ converge en probabilidad a cero. El arquetipo de ejemplo aquí supongo que en el caso de las $X_n$ es la media de la muestra menos el común de valor esperado de la me.yo.d. r.v.'s de la muestra,

$$X_n = \frac 1n\sum_{i=1}^nY_i - E[Y_1]$$

PREGUNTA: ¿Cómo podemos mostrar de manera convincente a alguien que la relación "se materializa en el mundo real", por el uso de la computadora los resultados de la simulación desde necesariamente finito de muestras?

Por favor, tenga en cuenta que yo elegí específicamente la convergencia a una constante.

Me ofrecen por debajo de mi enfoque como una respuesta, y espero que para mejor.

ACTUALIZACIÓN: Algo en la parte de atrás de mi cabeza me molestaba y me enteré de lo que. Cavé una vieja pregunta donde una interesante discusión continuó en los comentarios a una de las respuestas. Allí, @Cardenal proporciona un ejemplo de un estimador es consistente, pero su varianza sigue siendo no-cero y finito asintóticamente. Así que una variante más difícil de mi pregunta es: ¿cómo se demuestra por la simulación de que una estadística converge en probabilidad a una constante, cuando esta estadística se mantiene distinto de cero y varianza finita asintóticamente?

Answer 1

Creo que de $P()$ como una función de distribución (otra complementaria en el caso específico). Ya quiero usar la simulación por ordenador de exponer que las cosas tienden a la forma en que el resultado teórico nos dice, necesito construir la distribución empírica de la función de $|X_n|$ o empírica de la relación de la distribución de frecuencia, y entonces de alguna manera demostrar que como $n$ aumenta, los valores de $|X_n|$ concentrado "más y más" a cero.

Para obtener un empírica de la frecuencia relativa de la función, me necesita (mucho) más de una muestra por el aumento en el tamaño, porque a medida que el tamaño de la muestra aumenta, la distribución de $|X_n|$ cambios para cada uno de los diferentes $n$.

Así que tengo que generar a partir de la distribución de la $Y_i$s, $m$ de muestras "en paralelo", dice $m$ que van en los miles, cada uno de unos de tamaño inicial $n$, decir $n$ que van en las decenas de miles de personas. Necesito calcular el valor de $|X_n|$ a partir de cada muestra (y para el mismo $n$), es decir, obtener el conjunto de valores de $\{|x_{1n}|, |x_{2n}|,...,|x_{mn}|\}$.

Estos valores pueden ser utilizados para construir un empírica relativa de la distribución de frecuencia. Tener fe en el resultado teórico, espero que "muchos" de los valores de $|X_n|$ será "muy cerca" de cero -pero, por supuesto, no todos.

Así que con el fin de mostrar que los valores de $|X_n|$ do, de hecho, de marzo a cero en mayores números, habría que repetir el proceso, aumentando el tamaño de la muestra para decir $2n$, y muestran que la concentración de cero "ha aumentado". Obviamente, para mostrar que se ha aumentado, uno debe especificar un valor empírico para $\epsilon$.

Sería eso suficiente? Podría de alguna manera nos formalizar este "incremento en la concentración"? Podría este procedimiento, si se realiza en más "de la muestra aumento de tamaño de" pasos, y la que está más cerca de los otros, nos proporcionan unos estimación de la tasa de convergencia, es decir, algo así como "empírica de probabilidad de masa que se mueve por debajo del umbral por cada una de las $n$-paso" de, digamos, mil?

O, examine el valor de umbral para el cual, a decir $90$% de la probabilidad se encuentra a continuación, y ver cómo este valor de $\epsilon$ se reduce en magnitud?

UN EJEMPLO

Considere la posibilidad de la $Y_i$'s $U(0,1)$, por lo que

$$|X_n| = \left|\frac 1n\sum_{i=1}^nY_i - \frac 12\right|$$

Primero nos genere $m=1,000$ muestras de $n=10,000$ tamaño de cada uno. La evidencia empírica relativa de la distribución de frecuencia de $|X_{10,000}|$ parece

y nos cuenta que $90.10$% de los valores de $|X_{10,000}|$ son inferiores a $0.0046155$.

La próxima puedo aumentar el tamaño de la muestra a $n=20,000$. Ahora empírica de la relación de la distribución de frecuencia de $|X_{20,000}|$ parece y nos cuenta que $91.80$% de los valores de $|X_{20,000}|$ están por debajo de $0.0037101$. Alternativamente, ahora $98.00$% de los valores caen por debajo de $0.0045217$.

Te gustaría ser persuadido por la demostración?