¿Explicar por qué calcular esta serie podría causar paradoja?

Question

$\ln2 = 1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{3}-\frac{1}{4} + \cdots = (1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \cdots) - 2 (\frac {1} {2} + \frac{1}{4} + \cdots)$$= (1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \cdots) - (1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \cdots) = 0$ $

Gracias.

Answer 1

Es porque la serie para ln2 es condicional convergente. (véase también Teorema de cambio de Riemann)

Answer 2

En esta cadena de 4 ecuaciones, #1, #3 y #4 son correctas, y n º 2 es el error. Las ecuaciones son afirmaciones acerca de (límites de) algunas sumas finitas. Que $H_n = \Sigma_{j=1}^n 1/j$ y $A_n = \Sigma_{i=1}^n (-1)^{i-1} 1/i$.

La fórmula correcta es $A_n = H_n - H_{[n/2]}$ (que es aproximadamente $\log(n) - \log(n/2) \sim \log(2) = A_{\infty}$), pero reclama la segunda ecuación corta en términos de $n$ $A_n = H_n - H_n$ (que es cero).

Answer 3

En la respuesta de Matt me empezó a discutir con Matt E a lo largo de varios comentarios, que creo que debe escribirse como una respuesta.

Como Matt se ha señalado, esto es, un reordenamiento de este condicionalmente convergente la serie, que es por qué tiene esta especie de paradoja.

Sin embargo, no estaba claro acerca de cómo esto es exactamente un reordenamiento, como la renta variable parece perfectamente legal - incluso para un condicionalmente convergente la serie.

1. $1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + \ldots = 1 + (\frac{1}{2} - 1) + \frac{1}{3} + (\frac{1}{4} - \frac{1}{2})$ es el primer paso, que es legal ya que simplemente reemplazar los términos negativos por pares de positivo y de negativo, pero no cambian el orden de la suma de la serie original que hace que este intercambio de fiar.
2. $1 + (\frac{1}{2} - 1) + \frac{1}{3} + (\frac{1}{4} - \frac{1}{2}) = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \ldots - 1 - \frac{1}{2} - \ldots$ esto es donde las cosas se rompen, se ha tomado un condicionalmente convergente la serie y se cambió el orden, básicamente hemos realizado infinidad de conmutaciones con el fin de reorganizar la serie en esta orden, y que es lo que rompe la suma.

El cambio no fue muy obvio, pero se estaba escondiendo allí con su gran afilados dientes puntiagudos... y cuando usted entró demasiado cerca de su cueva - se saltó a usted, y a poco de su cabeza.

La serie en cuestión está estrechamente me recuerda a la de mi maestro de cálculo se utiliza cuando se nos mostró por primera vez lo que el cambio de condicionalmente convergente la serie puede hacer, a pesar de su aún era menos evidente.