Vamos a mostrar primero (con la ayuda de mi oficina-mate) que la función de $P(m,x)$ es igual a la función: $$f_m(x)=\sum_{k=2}^m \frac{1}{k^2}\left(\frac{\sin(\pi x)}{\sin(\pi x/k)}\right)^2$$ In order to do this, we first recall the exponential sum formula: $$\sum_{j=-n}^{n}\exp(inx)=\exp\left(\frac{-inx}{2}\right)\frac{\sin(\frac{1}{2}(n+1)x)}{\sin(\frac{1}{2}x)}$$ a partir De esta fórmula (comúnmente conocida fórmula en cualquier libro que aborda exponencial sumas), obtenemos:
$$\sum_{k=2}^m \frac{1}{k^2}\left(\frac{\sin(\pi x)}{\sin(\pi x/k)}\right)^2=\sum_{k=2}^m \frac{1}{k^2}\left(\sum_{j=1-k}^{k-1}\exp(ij\frac{2\pi x}{k})\right)^2=\sum_{k=2}^m\frac{1}{k^2}\sum_{j=1-k}^{k-1}\sum_{t=1-k}^{k-1}\exp(i\frac{2\pi x}{k}(j+t))$$ Escribiendo esto con senos y cosenos:
$$=\sum_{k=2}^m\frac{1}{k^2}\sum_{j=1-k}^{k-1}\sum_{t=1-k}^{k-1}\left[\cos\left(\frac{2\pi x}{k}(j+t)\right)+i\sin\left(\frac{2\pi x}{k}(j+t)\right)\right]$$
Observe que el coseno es una función par por lo que el coseno de términos con $j+t>0$ $-j-t$ pueden ser combinados para dar a $2\cos(\cdot\cdot\cdot)$, mientras que sinusoidal de ser un extraño función implica que el $j+t>0$ $-j-t<0$ contribuciones cancelar. Por lo tanto, podemos reescribir nuestra fórmula como:
$$=\sum_{k=2}^m\frac{1}{k^2}\left[\sum_{j+t=0}\cos\left(\frac{2\pi x}{k}(j+t)\right)+2\sum_{j+t>0}\cos\left(\frac{2\pi x}{k}(j+t)\right)\right]$$ where $1-k\leq j,t\leq k-1$ in the above summations. A simple counting argument for when different values of $j+t$ son iguales, entonces se obtiene:
$$=\sum_{k=2}^m\frac{1}{k^2}\left[k+2\sum_{j=1}^{k-1}(k-j)\cos\left(\frac{2\pi xj}{k}\right)\right]$$ and multiplying through by one of the factors of $\frac{1}{k}$ therefore indeed gives $f_m(x)=P(m,x)$.
Ahora, vamos a aplicar esta útil de identidad para analizar la función:
Si $x$ es un número entero, entonces $\sin(\pi x/k)$ será cero exactamente al $k|x$, e $\lim_{x\to kt}\left(\frac{\sin(\pi x)}{\sin(\pi x/k)}\right)^2=k^2$ donde $t\in\mathbb{Z}$. Cada otro término con $k\nmid x$ ($x$ todavía un número entero) se han $\sin(\pi x)=0$ $\sin(\pi x/k)$ distinto de cero. Es decir, para $x$ un entero, el único no-cero aportes vienen de divisores de a $x$, y cada uno de estos contribuirán $\frac{1}{k^2}\cdot k^2=1$. Por eso, $f_m(x)$ da el número de los distintos divisores de $x$ que se encuentran entre las $2$$m$. Esta es la razón por $x$ un número primo entre el$2$$m$, la función da $1$; $x$ un número primo entre el$m$$m^2$, la función da $0$; y por qué la función actúa como un primer tamiz para $x$ mayor que $m^2$.
En esta forma, es bastante fácil ver que el período de $f_m(x)$, ya que es la suma de estos $\sin$ términos, es $\operatorname{lcm}(2,3,...,m)$.
