Encontrando $ \prod_{n=1}^{999}\sin\left(\frac{n \pi}{1999}\right)$

Question

Agradecería que alguien me ayudara con el siguiente problema. ¿Cómo podemos encontrar el producto

$$ \prod_{n=1}^{999}\sin\left(\frac{n \pi}{1999}\right)$$

Answer 1

$$\prod_{k=1}^{n-1}\sin\left(\frac{k\pi}{n}\right)=\frac{n}{2^{n-1}}$$ Aquí, dejemos que $$x=\prod_{k=1}^{999}\sin\left(\frac{k\pi}{1999}\right) \tag{1}$$

Desde $\sin t=\sin (\pi-t)$ Por lo tanto,

$$x=\prod_{k=1}^{999}\sin\left(\frac{(1999-k)\pi}{1999}\right)=\prod_{k=1000}^{1998}\sin\left(\frac{k\pi}{1999}\right) \tag{2}$$

Ecuación multiplicadora $(1)$ por ecuación $(2)$ da,

$$x^2=\prod_{k=1}^{1998}\sin\left(\frac{k\pi}{1999}\right)=\frac{1999}{2^{1998}}$$ $$\implies x=\frac{\sqrt{1999}}{2^{999}}$$

Tomamos $x>0$ porque todos los ángulos están en $1^{st}$ y $2^{nd}$ cuadrante.

Answer 2

Tengo un límite aún más preciso: el producto es menor que

$$(999)! \left(\frac{\pi}{1999}\right)^{999}$$

Utilizar la aproximación de Stirling para obtener que ésta a su vez sea menor que

$$ \sqrt{999 e} \left ( \frac{999 \pi}{1999 e}\right )^{999} \approx 4 \times 10^{-237}$$

Answer 3

Los primeros dígitos de su número son:

0.00

Para obtener esta estimación observe que todos los términos del producto son menores que $1$ y que $|\sin(x)| \le |x|$ .

Para ser más precisos su número está entre $0$ y $10^{-80}$ .