¿Qué teoremas/ejemplos me hará entender realmente la teoría de la representación?

Question

Bueno, por lo que he sido a través de algunos resultados básicos sobre la teoría de la representación. He superado la prueba de Burnside $pq$ teorema usando caracteres. También he leído, aunque los fundamentos de la Mentira grupos y álgebras. Sin embargo, todavía no he llegado a través de un teorema o de cualquiera de los ejemplos que puso un "Aha!" momento en el que yo entiendo que lo que las representaciones son realmente y cuando su uso sea apropiado.

Por ejemplo, cuando se estudia el grupo de acciones, en mi opinión la órbita-estabilizador teorema me da una buena idea de lo que está pasando, al estudio de las acciones sobre grupos finitos - no he encontrado ningún ejemplo análogo en la teoría de la representación.

Supongo que parte del problema es que las representaciones son útiles en muchas formas distintas (grupos finitos, la Mentira de los grupos, el análisis armónico, la combinatoria, etc.) que tengo un tiempo difícil sintetizar una imagen coherente. Alguien tiene alguna buena recomendación para los libros/tema/teorema/ejemplos?

Answer 1

Aquí es un ejemplo de grupos finitos, donde una representación de la muestra "naturalmente".

Deje $G$ ser finito, solucionable grupo y que $K/L$ ser un factor principal de $G$ (esto significa que $K$ es un subgrupo normal de $G$ $L$ es un subgrupo de $K$ que es máxima entre apropiado subgrupos de $K$ que son normales en $G$). Ya que esto corresponde a $K$, siendo de un mínimo nivel de subgrupo normal de la solucionable grupo $G/L$ vemos que $K/L$ es elemental abelian, por lo que es isomorfo a $(\mathbb{F}_p)^n$ para algunos prime $p$ y algún número natural $n$, por lo que es un espacio vectorial sobre el campo finito $\mathbb{F}_p$.

Ahora $G$ actúa en $K/L$ a través de la conjugación, y debido a la maximality de $L$, esto nos da una representación irreducible de $G$ sobre el espacio vectorial $(\mathbb{F}_p)^n$.

Una pregunta entonces es cómo esto se relaciona con las representaciones que uno generalmente se introdujo, que están por encima de los números complejos. Pero resulta que desde $G$ es solucionable, podemos partir de la existencia de la anterior representación deducir que hay una irreductible carácter complejo de $G$ de grado en la mayoría de las $n$ y un $p$-elemento regular de $G$ (es decir, un elemento de $G$ cuyo fin no es divisible por $p$) es en el núcleo de este irreductible carácter fib actúa trivialmente en $K/L$. Además, si la representación de arriba es fiel (lo que significa que la única $g\in G$ que actúa trivialmente en $K/L$ es el elemento neutro), entonces existe un fiel irreductible carácter complejo de $G$ de grado en la mayoría de las $n$.