No estoy seguro de que el siguiente es el tipo de explicación que usted está buscando. Pero quiero hablar de algunas cosas relacionadas, así que aquí viene.
1) El conjunto de matrices
$$
F_k=\left\{\left(\begin{array}{cc}a&b\\kb& a\end{array}\right)\mediados de los a,b\in\Bbb{Q}\right\}\subconjunto M_2(\Bbb{Q})
$$
es estable bajo tomando la transpuesta si y sólo si $k^2=1$. En otras palabras, si $A\in F_k$,$A^T\in F_k$. Así que tomando la transpuesta es un mapeo de la sub-anillo $F_k$ a sí mismo sólo para los dos valores de $k$.
2) En la esfera de la matriz de representaciones de skewfields así como campos tomando la transpuesta es útil, pero uno tiene que tener en cuenta que la transposición es inherentemente un $anti$automorphism: $(AB)^T=B^TA^T$ para todas las matrices cuadradas $A$$B$. El posiblemente mejor conocido ejemplo de esto es la representación de los cuaterniones de Hamilton por 4x4 real de las matrices:
$$
q=a+bi+cj+dk\mapsto M(q)=\left(
\begin{array}{rrrr}
a&-b&-c&-d\\
b&a&-d&c\\
c&d&a&-b\\
d&-c&b&a
\end{array}\right).
$$
Tenga en cuenta que la conjugación $q\mapsto \overline{q}=a-bi-cj-dk$ de los cuaterniones corresponde a la toma de la transposición, $M(\overline{q})=M(q)^T$. Por lo tanto, la conjugación es un antiautomorphism: $\overline{q_1\cdot q_2}=\overline{q_2}\cdot\overline{q_1}.$ En el caso de que el subrings $F_k$ son todos conmutativa, por lo que en el establo casos $k=\pm1$ el orden de la multiplicación es irrelevante, y que te dan un automorphism del anillo (o el campo de $\Bbb{Q}(i)$ en el caso de $k=-1$).
3) en general relacionados con la realidad es la siguiente consecuencia de Skolem-Noether Teorema. La matriz de los anillos de $M_n(\Bbb{Q})$ son centrales a la simple álgebras sobre los racionales.
Si $F$ $n$- dimensional campo de la extensión de $\Bbb{Q}$, y
$f,g:F\to M_n(\Bbb{Q})$ son dos homomorphism de $\Bbb{Q}$-álgebras, entonces Skolem-Noether dice que existe una matriz invertible $B\in M_n(\Bbb{Q})$ tal que
$$
g(x)=B f(x) B^{-1}
$$
para todos los $x\in F$. En particular, si $F$ es un sub-anillo de $M_n(\Bbb{Q})$ que también pasa a ser un campo, entonces podemos permitir $f$ ser la inclusión de asignación (=identidad), y deje $g=\sigma$ ser cualquier automorphism de $F$. Skolem-Noether y luego nos dice que podemos darnos cuenta de la automorphism $\sigma$ por la matriz de la conjugación. IOW existe una matriz $B_\sigma$ tal que
$$
\sigma(x)=B_\sigma x B_\sigma^{-1}
$$
para todos los $x\in F$.
La razón por la que menciono Skolem-Noether es que se aplica a todos los campos $F_k, k\notin \Bbb{Q}^2$ en su pregunta - no sólo a $F_{-1}$. La conjugación
$\sigma:a+b\sqrt k\mapsto a-b\sqrt k$ puede ser comprendido como la conjugación por
$$
B_\sigma=\left(\begin{array}{rr}1&0\\0&-1\end{array}\right),
$$
como (la de arriba $B_\sigma$ es su propia inversa)
$$
\left(\begin{array}{rr}1&0\\0&-1\end{array}\right)\left(\begin{array}{cr}a&b\\kb& a\end{array}\right)\left(\begin{array}{rr}1&0\\0&-1\end{array}\right)=
\left(\begin{array}{cr}a&-b\\-kb& a\end{array}\right).
$$
Nota: la Conjugación, a diferencia tomando la transpuesta, es inherentemente fin de preservar:
$$
B(A_1A_2)B^{-1}=(BA_1B^{-1})(BA_2B^{-1}).
$$
Esta es la razón por la que yo siento que la conjugación es una forma más natural en lugar de mirar para automorphism de transponer. En el caso de los campos de la orden de la multiplicación es inmaterial, pero de una forma más general de la configuración que todavía se enfrentan con el problema de encontrar los subcampos de $M_n(\Bbb{Q})$ que son estables en virtud de la transposición. Como hemos visto, Skolem-Noether hace que el problema desaparezca en el sentido de que las promesas de la existencia de una matriz adecuada para conjugar con.
