Mostrando una función es un polinomio

Question

Problema: Vamos a $f,g\colon \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ funciones $f$ es diferenciable y para cada $x,h \in \mathbb{R}$ ha $f(x+h)-f(x-h)=2hg(x)$. Demostrar que $f$ es un polinomio de grado en la mayoría de las $2$.

Mi Intento: Como $f(x)$ es diferenciable con respecto a $x$$2hg(x)=f(x+h)-f(x-h)$, sabemos que $g(x)$ es diferenciable con respecto a $x$. Por otra parte, hemos $$ \begin{split} 2hg(x) &= f(x+h)-f(x-h) \\ 2hg(x) &= f(x+h)-f(x)+f(x)-f(x-h) \\ 2g(x) &= \frac{f(x+h)-f(x)}{h} - \frac{f(x-h)-f(x)}{h} \end{split} $$ así que como $h \to 0$ $$ 2g(x) =\lim_{h \to 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h} - \frac{f(x-h)-f(x)}{h} = f'(x)-(-f'(x))=2f'(x) $$ Esto demuestra que $g(x)=f'(x)$. Como $g(x)$ es diferenciable, esto demuestra que $f(x)$ es dos veces diferenciable y que $g'(x)=f''(x)$. Todo lo que queda es demostrar que el $f''(x)=g'(x)$ es constante.

Sin embargo, he intentado muchas cosas y aún veo por qué $g'(x)$ es constante. Alguna idea sobre cómo hacer esto?

Answer 1

Han concluido $f$ es dos veces diferenciable. Una vez que tengamos, podemos diferenciar la primera ecuación dos veces con respecto a los $h$, para obtener $$ f''(x+h)-f''(x-h) = 0. $$ Ya que esto es para cada $x$ $h$ obtenemos que $f''$ es constante.

Answer 2

Distinguir $f(x+h)-f(x-h)=2hg(x)$ con respecto a los $h$ a $ f'(x+h)+f'(x-h)=2g(x). $$ Listo $h=0$ deducir que $f'(x)=g(x)$ % todos $x$. Por lo tanto la función (continua) $g=f'$ tiene la "función armónica" propiedad $$ g (x) = {g (x + h) + g (x-h) \over 2}, \qquad\forall x, h $$ esto es suficiente (por la continuidad de $g$) dar a entender que $g$afín ($g(x) = mx+b$) y así $f$ debe ser cuadrática.

Answer 3

Para arbitrario $x$ y $h$ tenemos

$$ \eqalign {g(x-h)+g(x+h) & =\frac1{2h}(f(x+2h)-f(x))+\frac1{2h}(f(x)-f(x-2h))\\ &=\frac2{4h}(f(x+2h)-f(x-2h)) \\ & = 2 g (x) \\ g(x+h)-g(x) & =g(x)-g(x-h)} $$

Por inducción, todos enteros $n,$

$$g(x+nh)-g(x)=n(g(x+h)-g(x))$$

Ahora arbitraria $y,$ aplicar esta identidad con $x=0$ y $h=y/n$:

$$g(y)=g(0)+y\frac{g(\frac y n)-g(0)}{\frac yn}$$

y el lado derecho converge a $g(0)+yg'(0)$ $n\to\infty.$ así $g$ es un polinomio de grado $1$.

Answer 4

Utilizamos el resultado: es decir, que $f$ es dos veces diferenciable.

Que $x \in \mathbb{R}$ ser arbitrarios, arreglado. Definir la función $\xi: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ $\xi(h)=f(x+h)$. Entonces la igualdad dice $$\xi(h)-\xi(-h)=2hg(x).$ $ diferenciando dos veces, obtenemos $$\xi''(h)-\xi''(-h)=0$ $ por la regla de la cadena, se deduce que $f''(x+h)-f''(x-h)=0$ cada $x,h$.

Ahora, supongamos que $f''$ no es constante. Entonces, existe $\alpha, \beta$ tal que $f''(\alpha)\neq f''(\beta) \implies f''(\alpha)-f''(\beta) \neq 0$. Tomando el $x=\frac{\alpha+\beta}{2}$ y $h=\frac{\alpha-\beta}{2}$ produce una contradicción con la conclusión anterior.