¿Cómo podríamos demostrarlo?
$$\sum_{i=1} ^n (i^2+3i+1)\times i!= (n+3) \times (n+1)!-3$$
Lo hice con la inducción, lo que quiero saber es sobre otras maneras de demostrarlo.
Respuestas
¿Demasiados anuncios?
En primer lugar, mirar a la más simple expresión $$\sum_{k=1}^n k\cdot k!.$$ Este es $$1\cdot 1!+2\cdot 2! +3\cdot 3!+\cdots +n \cdot n!.$$ En general, $k \cdot k!=(k+1)\cdot k!-k!=(k+1)!-k!$. De ello se sigue que la suma de arriba es igual a $$(1!-0!)+(2!-1!)+(3!-2!) +(4!-3!)+\cdots +((n+1)!-n!).$$ Agregar para arriba. Hay un montón de cancelación, y llegamos $(n+1)!-1$.
Ahora volvemos a nuestro problema, que puede escribirse como $$\sum_{k=1}^n(k+1)^2\cdot k! +\sum_{k=1}^n k \cdot k!,$$ desde $k^2+3k+1=(k+1)^2+k$. Ya hemos calculado la segunda suma. La primera suma es $$\sum_{k=1}^n (k+1)\cdot (k+1)!.$$ El mismo colapso de argumento, a continuación, muestra que esta suma es $$(n+2)! -2.$$ O bien podemos reciclar el resultado anterior, tomando nota de que estamos tratando con $\sum_{j=2}^{n+1}j\cdot j!$, $1$ menos de $\sum_{j=1}^{n+1}j\cdot j!$. Por último, añade. Tenemos $$[(n+2)(n+1)!-2] +[(n+1)!-1].$$ Esto es $(n+3)(n+1)!-3$.
Comentario: Pero la solución anterior, en realidad no responde a la pregunta! El OP pidió que la inducción no se utiliza. Sin embargo, la inducción se utiliza, aunque de una manera sutil, de modo oculto. Nos vio a la sistemática de la cancelación, era obvio. Pero un "buen" completar la prueba de uso de la cancelación de hasta el $k$-ésimo término para demostrar la cancelación de hasta el $(k+1)$-ésimo término. La mayor parte del tiempo cuando uno ve el botón de puntos suspensivos ($\dots$) en una expresión matemática, la inducción es, técnicamente hablando, necesarios para cumplimentar la totalidad detalles formales. Esto no debe hacer ninguna diferencia práctica en nuestro matemático de comportamiento: es Obvio es obvio.
Nikolai Prokoschenko
Puntos
2507
user3035
Puntos
91
Martin OConnor
Puntos
116
Como André Nicolas notas, la esencia de la identidad está mostrando que $$\sum_{k=1}^n k \cdot k! = (n+1)! - 1.$$
Hay un buen combinatoria prueba de ello. (Véase Benjamin y Quinn, las Pruebas de que Realmente cuenta, la Identidad 181 p. 92.) Voy a darle en su $\sum_{k=1}^{n-1} k \cdot k! = n! - 1$ formulario.
Ambos lados contar el número de permutaciones de $1, 2, \ldots, n$ que excluir la identidad de permutación.
El lado derecho es sencillo.
Para el lado izquierdo, ¿cuántas permutaciones ha $n-k$ como el primer número de la que no se asigna a sí mismo? Hay $k$ opciones ($n-k+1, n-k+2, \ldots, n$) para el número que aparece en la posición $n-k$, y luego se $k!$ formas de elegir el resto de $k$ números para completar la permutación. Sumando sobre todos los posibles valores de $k$ los rendimientos de la mano izquierda.
