¿Hay una axiomatización de ZF(C) de segundo orden, que es categórico?

Question

Una teoría de la $T$ se llama categórica si sólo tiene un modelo de hasta un isomorfismo. (Nota: esto no tiene nada que ver con la categoría de teoría.) El Lowenheim-Skolem teorema establece que ninguna de primer orden de la teoría con una infinita modelo es categórico. Sin embargo, una de segundo orden, la teoría PUEDE ser categórica, a pesar de que tal teoría no puede ser recursivamente axiomatizable (porque no hay recursiva axiomatization de segundo orden de la lógica, que se completa con respecto a la norma semántica).

Por ejemplo, los axiomas de Peano con el lleno de segundo orden de la inducción axioma comprenden un segundo orden de la versión de primer orden de la aritmética de Peano, y que constituyen una categoría de axiomatization de los números naturales. Del mismo modo, los axiomas para ordenó campos, junto con el Dedekind integridad axioma (cada conjunto acotado tiene al menos un límite superior), comprenden un segundo orden de la versión de primer orden de la teoría de bienes de campos cerrados, y que constituyen una categoría de axiomatization de los números reales.

Mi pregunta es, ¿podemos hacer lo mismo para la teoría de conjuntos? Es decir, hay un segundo orden de la versión de ZF, o ZFC, que es categórico?

Cualquier ayuda sería muy apreciada.

Gracias de Antemano.

Answer 1

Hay un conjunto importante de la teoría de la cuestión: el "categórico", una teoría debe tener sólo un "modelo". Si algunos razonable candidato para el segundo fin de ZFC fue categórica, su único "modelo" tendría que ser la clase de todos los conjuntos. Pero entonces no habría un modelo de conjunto, por lo que en realidad podría ser inconsistente en segundo orden semántica.

Dicho de otra manera: no es un cardenal $\kappa$ de manera tal que si una contables de la teoría de segundo orden, la lógica tiene un modelo, entonces tiene un modelo de tamaño menor o igual a $\kappa$ (esto está relacionado con el número de Löwenheim de segundo orden de la lógica). Pero no tendría sentido llamar a una teoría de conjuntos "de segundo orden ZFC" si su único modelo tenía un tamaño de menos de $\kappa$, ya que sabemos que hay conjuntos de más de $\kappa$. Y no importa lo contables de segundo orden de la teoría pensamos que nunca vamos a gestionar exceder $\kappa$. (Seguramente cualquier razonable candidato para el segundo fin de ZFC en más de una contables número de axiomas.) Así, la mayoría del conjunto teórico universo serían omitidos por cualquier candidato para "categórica de segundo orden ZFC".

Sin embargo, hay teorías que son a menudo llamados "de segundo orden ZFC". Una de estas teorías es sólo ZFC, pero con el axioma esquema de sustitución reemplaza por un solo segundo orden axioma de que se cuantifica a través de cada función de la clase $f$, y dice que la imagen de cualquier conjunto bajo cualquier función de la clase es de nuevo un conjunto. Estas teorías no son categóricos en segundo orden de la lógica, pero al menos son coherentes, y sus modelos son más bien se comportó de arbitraria de los modelos de primer orden de ZFC.

Answer 2

Van Mcgee, en su "Cómo Aprendemos el Lenguaje Matemático" da un argumento para la categoricity de ZFCU (ZFC con Urelements) más el axioma de que el Urelements formar un conjunto (el "Urelement Conjunto de axiomas"). Obviamente, esto no es absolutamente lo que le estaban pidiendo, pero quizás es lo suficientemente cerca como para ser de interés.

El "Categoricity Teorema" se da de esta manera:

Categoricity Teorema. Cualquiera de los dos modelos de segundo orden ZFCU + el Urelement Conjunto de axiomas con el mismo universo de discurso isomorfo puro conjuntos. En particular, cualquiera de los dos modelos de segundo orden ZFCU + el Urelement Conjunto de axiomas en los que el primer orden de variables gama de todo lo que han isomorfo puro conjuntos.

Él, sin embargo, se nota un sentido en el que este sistema no es categórica. En su nota de pie de página 33 dice:

A veces una especificación de un sistema matemático es considerado como categórica sólo si se caracteriza el sistema, de forma exclusiva hasta el isomorfismo, por su estructura interna. Nuestros axiomas no son categórico es un sentido estricto, ya que podemos caracterizar el puro establece por referencia a cosas que no son pura conjuntos, a saber, la Urelemente. Uso aquí no es uniforme. Hilbert axiomas para la geometría se refiere a menudo como "categórica," a pesar de que se refieren a cosas fuera de el sistema de puntos, rectas y planos.

Así que, supongo que si le acepte esto como un ejemplo de una categoría de sistema depende de cómo, precisamente, el uso de "categórico".