Cambiar el orden de la suma

Question

Sabemos que $$\sum_{n=1}^{\infty}a_n = \mbox{convergent}$$ ¿Implica eso que $$a_3 + a_1 + a_2 + a_6 + a_4 + a_5 + \cdots = \mbox{convergent?}$$ No sabemos si nuestra serie es absolutamente convergente.

Answer 1

Dado que $$\sum_{k=1}^{\infty} a_k=\mbox{convergent}$$ Tenemos $$a_3 + a_1 + a_2 + a_6 + a_4 + a_5 + \cdots$$ $$=\sum_{k=1}^{\infty} \left(a_{3k} +a_{3k-2}+a_{3k-1}\right)$$ $$=\sum_{k=1}^{\infty} \left(a_{3k-2}+a_{3k-1}+a_{3k}\right)$$ $$=a_1 + a_2 + a_3 + a_4 + a_5 + a_6+\cdots$$ $$=\sum_{k=1}^{\infty} a_k =\mbox{convergent}$$

Answer 2

Sea $S_n$ sea la enésima suma parcial de la serie original, y sea $T_n$ sea la enésima suma parcial de la nueva serie.

Dado que la serie original converge, $S_n\to S$ para algún número $S$ .

Desde $T_{3n}=S_{3n}, \;T_{3n+1}=S_{3n}+a_{3n+3},\; T_{3n+2}=S_{3n}+a_{3n+3}+a_{3n+1}$ y $a_n\to 0$ ,

$T_n\to S$ por lo que la nueva serie converge a la misma suma.

Answer 3

Sí, su suma converge necesariamente.

Sea $b_n$ denotan el $n$ de su secuencia (por ejemplo $b_1 = a_3$ ). Sea $S_N = \sum_{n=1}^N a_n$ et $T_N = \sum_{n=1}^N b_n$ .

Observamos que $T_{3N} = S_{3N}$ . Por lo tanto, si $T_N$ converge, converge al mismo límite que $S_N$ .

Además, $T_{3N+2} = T_{3N} + b_{3N+1} + b_{3N+2}$ . Sin embargo, observamos que $b_n \to 0$ por la convergencia de la suma original. Así, para cualquier $\epsilon > 0$ podemos seleccionar $N_0$ para que $b_N < \epsilon$ cuando $N > N_0$ . Por lo tanto, tenemos $$ |T_{3N + 2} - T_{3N}| = |b_{3N+1} + b_{3N+2}| < 2 \epsilon $$ esto es suficiente para concluir que $T_N$ es Cauchy, y por tanto convergente.

Answer 4

Los pequeños cambios "locales" de orden no suponen ninguna diferencia.

Del hecho de que las sumas parciales de los $a_i$ convergen, digamos a $s$ se puede demostrar que las sumas parciales modificadas convergen a $s$ . Sea $(b_n)$ sea nuestra secuencia modificada. Entonces $\sum_1^{3k} a_i =\sum_1^{3k}b_i$ y ambos tienen límite $s$ .

Desde el $a_i$ tener límite $0$ tenemos que $\lim \sum_1^{3k+1} b_i$ y $\lim \sum_1^{3k+2} b_i$ también son iguales a $s$ .