Descomponiendo así $Y=U_1+U_2$ que $\operatorname{Cov}(U_1,X\mid Z)=0$ y $\operatorname{Cov}(U_2,X\mid Z)=\operatorname{Cov}(U_2,X)$

Question

Vamos $X$, $Y$ y $Z$ ser variables aleatorias.

• Siempre es posible descomponer $Y=U_1+U_2$ tal que $\operatorname{Cov}(U_1,X\mid Z)=0$ $\operatorname{Cov}(U_2,X\mid Z)=\operatorname{Cov}(U_2,X)$ es decir, el primer término y $X$ están correlacionadas condicional en $Z$ y el segundo término y $X$ puede ser correlacionada de forma independiente de $Z$? No necesito las expresiones explícitas para $U_1$ o $U_2$.

• Puede el covarianzas ser reemplazado con la independencia (es decir,$U_1 \perp X\mid Z$$(U_2,X) \perp Z$)?

• Existen resultados similares?

• Lo que si $Y$ fueron reemplazados con $g(Y)=U_1+U_2$ para algunos la función $g$?

Estoy interesado en métodos de cómo ir sobre la resolución de un problema y referencias. Gracias.

Answer 1

(Este CW es una ligera simplificación y la extensión de Michael respuesta.)

Reclamación

$Y$ tiene una descomposición de la forma requerida iff $\text{Cov}(X,Y|Z)$ es constante.

Prueba

Si:

Deje $U_1=\mathbb{E}[Y|Z]$$U_2=Y-U_1$. A continuación,$\text{Cov}(U_1, X|Z)=0$. $$ \begin{align} \text{Cov}(U_2, X) &= \text{Cov}(Y-\mathbb{E}[Y|Z], X)\\ &= \mathbb{E}[X(Y-\mathbb{E}[Y|Z])]\\ &= \mathbb{E}[XY-X\mathbb{E}[Y|Z]]\\ &= \mathbb{E}[\mathbb{E}[XY|Z] - \mathbb{E}[X|Z]\mathbb{E}[Y|Z]]\\ &= \mathbb{E}[\text{Cov}(X,Y|Z)]]\\ &=\text{Cov}(X,Y|Z)\\ &=\text{Cov}(X, U_1+U_2|Z)\\ &=\text{Cov}(X, U_2|Z) \end{align} $$

Onlf si:

Supongamos que tenemos una descomposición $Y=U_1+U_2$ satisfacer las condiciones requeridas. $$\begin{align} \text{Cov}(U_2, X) &= \text{Cov}(U_2, X|Z)\\ &= \text{Cov}(Y - U_1, X|Z)\\ &= \text{Cov}(X, Y|Z) - \text{Cov}(U_1, X|Z)\\ &= \text{Cov}(X, Y|Z), \end{align} $$ por lo $\text{Cov}(X, Y|Z)$ es constante.

Ejemplo

Supongamos que $X\sim U(\{-1,0,1\})$, $Y=\mathbf{1}(X=1)$ y $Z=\mathbf{1}(X\neq 0)$ donde $\mathbf{1}$ denota la función de indicador. Este ejemplo no satisface la condición necesaria, ya que $\text{Cov}(X,Y|Z)$ depende de $Z$.

Answer 2

Ben Derrett resuelve esta pregunta (que se muestra es generalmente imposible). Aquí es una condición necesaria para hacer lo que quieres:

Reclamo: Una condición necesaria es que el $Cov(X,Y|Z)$ no tiene ninguna dependencia en $Z$.

Prueba: Supongamos que tenemos $U_1,U_2$ tal que $U_1+U_2=Y$ $Cov(U_1,X|Z)=0$ todos los $Z$. A continuación, $E[U_1X|Z] =E[U_1|Z]E[X|Z]$ y así:

\begin{align} Cov(U_2, X|Z) &=Cov(Y-U_1,X|Z) \\ &=E[(Y-U_1)X|Z] - E[Y-U_1|Z]E[X|Z]\\ &=E[YX|Z] - E[U_1X|Z] - E[Y|Z]E[X|Z]+E[U_1|Z]E[X|Z]\\ &=E[YX|Z] - E[Y|Z]E[X|Z]\\ &= Cov(X,Y|Z) \end{align} y por lo tanto requerimos $Cov(X,Y|Z)$ tener ninguna dependencia de $Z$.

---

Aquí está el resultado positivo acerca de lo que se puede hacer en esta dirección:

Dado un vector aleatorio $(X,Y,Z)$, definir $U_1= f(Z)$ para algunos de los verdaderos valores de la función $f(z)$. Entonces:

\begin{align} XU_1 &= Xf(Z) \\ E[XU_1|Z] &= E[X f(Z)|Z] \\ &= f(Z)E[X|Z]\\ &= E[f(Z)|Z] E[X|Z]\\ &= E[U_1|Z]E[X|Z] \end{align}

y de hecho $Cov(U_1,X|Z) = 0$ todos los $Z$. Por lo tanto, por la prueba de la primera reclamación, también tiene que $Cov(U_2, X|Z) = Cov(X,Y|Z)$.

Esto es válido para todas las funciones de $f(z)$. Si $Cov(X,Y|Z)$ no depende de $Z$, a veces podemos optar $f(z)$, de modo que $Cov(X,Y|Z)=Cov(U_2, X)$, en cuyo caso todas sus propiedades que se desean mantener.

Por ejemplo, supongamos $Cov(X,Y|Z)=b$ todos los $Z$. Deje $f(z)=az$ para algún número real $a$. Así, $U_1=aZ$, $U_2=Y-aZ$, y tenemos: \begin{align} Cov(U_2,X) &= E[X(Y-aZ)] - E[X]E[Y-aZ]\\ &= E[XY] - aE[XZ] - E[X]E[Y]+aE[X]E[Z]\\ &= Cov(X,Y) - aCov(X,Z) \end{align} Si $Cov(X,Z) \neq 0$ podemos optar $a$, por lo que el de arriba es igual a $b$, a saber: $$ a = \frac{Cov(X,Y)-b}{Cov(X,Z)} $$ y todas sus propiedades que se desean mantener. Así que un suficiente condición es que $Cov(X,Y|Z)$ no depende de $Z$, e $Cov(X,Z)\neq 0$.