¿Por qué la solución ' ' a la fórmula cuadrática siempre es la que satisface mi restricción

Question

Deje $A,B \in (0,1)$ ser conocido constantes, y $C \in (-\infty, \infty)$ ser un conocido constante. Definir

\begin{equation} \xi(x) = \log \big( x \big) + \log \big( 1+x-A-B \big) - \log \big( A - x \big) - \log \big( B - x \big) - C \end{equation}

Para una aplicación en particular necesito encontrar la raíz de $\xi(x)$ que satisface:

\begin{equation} {\rm max}\Big(0, A+B-1\Big) \le x \le {\rm min}\Big(A,B\Big). \end{equation}

Algunos manipulación simple muestra que las raíces de $\xi(x)$ son también las raíces de esta ecuación cuadrática:

$$ (1-e^{C}) x^{2} + \Big(1 - A(1-e^{C}) - B(1-e^{C}) \Big)x - ABe^{C} $$

Que se resuelve fácilmente con $a=(1-e^{C})$, $b=\Big(1 - A(1-e^{C}) - B(1-e^{C}) \Big)$, y $c=- ABe^{C}$. La comparación de estas soluciones con valores numéricos utilizando interseccion (con el soporte especificado por la restricción de arriba), me parece que la solución siempre coincide con el '+' de una de las dos soluciones de la ecuación cuadrática. Cualquier indicación sobre cómo mostrar que analíticamente?

Answer 1

Asumiendo $C\neq0$ (ya que de lo contrario no hay ninguna ecuación cuadrática y su pregunta no surge), podemos dividir a través de por $1-\mathrm e^C$, y la ecuación de segundo grado se convierte en

$$x^2+\left(\frac{1}{1-\mathrm e^C}-A-B\right)x-\frac{AB\mathrm e^C}{1-\mathrm e^C}=:x^2+px+q=0\;.$$

Suponiendo que la etiqueta de las soluciones como '$+$ " y "$-$ " de acuerdo a la fórmula para el pleno de la ecuación cuadrática, el signo de la raíz cuadrada se invierte si el coeficiente estamos dividiendo a través de, $1-\mathrm e^C$, es negativo, es decir, si $C>0$. Por lo tanto, para la reducción de la fórmula con $p$$q$, tenemos que mostrar que para $C<0$ '$-$ 'solución viola los límites y para $C>0$' $+$ ' solución viola los límites.

Ahora para $C<0$ tenemos $1/(1-\mathrm e^C)>1$, y por lo tanto $-p<A+B-1$$q<0$, y por lo tanto

$$-\frac p2-\sqrt{\frac{p^2}4-q}<-\frac p2-\sqrt{\frac{p^2}4}\le-\frac p2-\frac p2=-p<A+B-1\le\max(0,A+B-1)\;,$$

mientras que para $C>0$ tenemos $1/(1-\mathrm e^C)<0$, y por lo tanto

$$-\frac p2+\sqrt{\frac{p^2}4-q}\ge-\frac p2\ge\frac{A+B}{2}\ge\min(A,B)\;.$$

Por lo tanto, la solución que tiene un '$-$' en la fórmula por el pleno de la ecuación cuadrática siempre viola uno de los límites.