¿Existe un espacio de Hausdorff no localmente compacto en el que todos los conjuntos compactos infinitos (de los que hay al menos uno) tengan un interior no vacío?

Question

Este es el material de base con el que estoy trabajando:

• El conjunto de Cantor es un espacio de Hausdorff compacto e incontable, con un vacío vacío.
• En un espacio Hausdorff localmente compacto, cada conjunto contable tiene el interior vacío.
• Los números racionales con la topología de subespacio es un espacio Hausdorff no localmente compacto en el que todos los conjuntos compactos tienen el interior vacío.

Intento encontrar un espacio Hausdorff no localmente compacto en el que todos los conjuntos compactos infinitos tengan un interior no vacío, bajo el supuesto de que el espacio tiene al menos un conjunto compacto infinito. Supongo que el ejemplo será un espacio de funciones exóticas.

Primero planteé esta pregunta sin especificar que debe haber al menos un conjunto compacto infinito, y esto fue resuelto por Stefan H. en este sitio.

Answer 1

Dejemos que $X$ sea el espacio de Respuesta de Stefan H. y que $Y=\{\frac1n|\;n\in\mathbb N\}\cup\{0\}$ con la topología del subespacio heredada de $\mathbb R$ . Ahora, basta con tomar su suma topológica $Z=X+Y$ . Este espacio es Hausdorff, porque $X$ y $Y$ son, y no es localmente compacto, porque $\infty\in X$ todavía no tiene un barrio compacto. Además, $Y$ es un subconjunto compacto infinito. Todo subconjunto compacto infinito es de la forma $A+B$ con $A\subseteq X$ un conjunto finito y $B\subseteq Y$ un conjunto infinito que contiene $0$ . Pero tal conjunto tiene necesariamente un interior no vacío, ya que un singleton $\{y\}\subseteq Y$ está abierto si $y\neq 0$ .