Cómo iniciar un problema de valor propio

Question

Estoy atascado en este problema: Se trata de un problema de valores propios$$\phi''+ \lambda^2 x(x+2)^2 \phi =0\\\phi(1)=0\\ \phi(0)=0$ $ Se me olvida este tipo de problemas ...

Por favor, dame una pista o una pista, porque no sé cómo empezar. Gracias por adelantado.

---

Mi primera idea fue obtener bases como esta$\phi_n(x)=x\left(1-x\right)^n $ y$$\phi(x)=\sum_{n=1}^{\infty} a_n \phi_n(x)$ $ estoy en un buen camino?

Answer 1

Supongo que DEQs de este tipo se muestran en la expresión de sus problemas en términos de parabólica coordenadas cilíndricas.

Así que usted podría estar buscando Weber DEQs o, más en general, funciones de cilindro parabólico como base.

Ajuste el problema en este marco, la solución podría ser

$$ \phi(\lambda x) = c_1 D_{(-1/2)}((1+i) x^{1/4} \sqrt{x+2} \; \lambda)+c_2 D_{-1/2}((-1+i) x^{1/4} \sqrt{x+2} \; \lambda) $$

donde $D_n (z)$ son funciones de cilindro parabólico y las constantes deben ser adaptados a las condiciones de frontera. Wolfram Alpha ayuda.

Espero que esto va en la dirección correcta...