¿Determinante siempre igual a cero?

Question

Acabo de terminar de escribir un programa de ordenador que toma como entrada un número de matrices y calcula la inversa del producto de matrices.

Para probar este programa, quería introducir un $3 \times 2$ seguido de una matriz $2\times 3$ matriz para que el producto sea una $3\times 3$ matriz. Por mucho que lo intente, el determinante del producto resulta ser cero y, por tanto, el producto no es invertible. ¿Existe algún teorema en álgebra lineal que implique que el producto de una $3\times 2$ matriz y $2\times 3$ ¿la matriz siempre tendrá el determinante cero?

Answer 1

Sí.

Si se considera una matriz $A$ como una cartografía lineal $v \mapsto Av$ entonces una matriz cuadrada tiene determinante diferente de cero si y sólo si el mapeo es invertible. El producto de matrices representa la composición de mapeos lineales. Pero para que una composición sea invertible, se requiere que el primer mapeo sea inyectivo. Sin embargo, un mapeo lineal de $3$ D espacio para $2$ El espacio D no puede ser inyectivo...

añadido: prueba alternativa. Sea $A$ ser tu $3\times 2$ matriz y $B$ el $2\times 3$ matriz para que $AB$ es un $3\times 3$ matriz. Consideremos ahora la $3\times 3$ matrices $A'$ y $B'$ construido añadiendo una columna de ceros a $A$ y una fila de ceros a $B$ . Entonces, observe que $A'B'=AB$ porque en la multiplicación fila por columna en $A'B'$ se obtiene la multiplicación fila por columna en $AB$ más un $0\cdot 0$ . Ahora sabes que $\det A'=\det B'=0$ por lo que $\det AB = \det A'B' = \det A' \det B' = 0$ .

Answer 2

Sí. Llamemos a $A$ , $B$ y $M$ su matriz, $M=AB$ .

$B$ no es cuadrado por lo que existe $(\lambda_{i})$ non all null tal que $\sum\limits_{i} \lambda_{i} C_{i}(B) =0$

Usted tiene $\sum\limits_{i} \lambda_{i} C_{i}(M) = \sum\limits_{i} \lambda_{i} A* C_{i}(B) = A*(\sum\limits_{i} \lambda_{i} C_{i}(B)) = 0 $

Answer 3

La explicación clásica se basa en que si tenemos $m \times n$ matriz $A$ (con más filas que columnas - el número de filas puede ser tratado como el número de componentes de un vector, el número de columnas como el número de vectores) entonces vector $w=Av$ , donde $v$ es $n \times 1$ debe estar en el espacio de columnas de $A$ $ ($ denotado $C(A)$ ).

En el caso de la matriz $3 \times 2$ es un plano en $R^3$ .

Ahora tenemos $2 \times 3$ matriz $B$ que consta de tres columnas $b_1, b_2, b_3$ por lo que la matriz $AB=[ Ab_1 \ \ Ab_2 \ \ Ab_3]$ donde cada columna del $3 \times 3$ $AB$ se encuentra en el mencionado plano anterior.

Así que tenemos tres vectores que se encuentran en el plano 2-d situado en el espacio 3-d (evidentemente no pueden ser linealmente independientes) por lo tanto la matriz $AB$ debe ser singular.