En la página 18 del análisis Real y Complejo de Rudin define$0 \cdot \infty = 0$ y dice que "con esta definición las leyes conmutativas, asociativas y distributivas se mantienen en$[0,\infty]$ sin ninguna restricción".
Lo que no está claro para mí es si la declaración citada es una justificación de la definición o simplemente una consecuencia. ¿No tendrían las leyes conmutativas, asociativas y distributivas si definimos$0 \cdot \infty = \infty$?
Puede parecer extraño para definir $0\cdot\infty=0$. Sin embargo, uno comprueba sin dificultad que, con esta definición de la propiedad conmutativa, asociativa y distributiva de las leyes mantenga en $[0,\infty]$ sin ningún tipo de restricción.
La forma en que esta se formule conduce naturalmente a su pregunta, como si Rudin fueron lo que implica que esta es la principal justificación para la definición de las $0\cdot\infty$ de esta manera. Más bien, yo veo esto como un bono después de hacer la convención en consonancia con lo que sucede cuando la integración de la $0$ o de la función de la integración de más de un espacio de medida $0$, como KCd comentario indica.
Si usted se pregunta cuáles son las posibilidades, usted puede comenzar por suponer que $0\cdot\infty=x$ algunos $x\in[0,\infty]$, y aplicar la ley distributiva para ver que $x=2x$, por lo que el $x=0$ o $x=\infty$. A continuación, puede comprobar que con la convención de la propiedad conmutativa, asociativa y distributiva de las leyes de suspenso, por lo que se necesita algo más para motivar la elección. La elección siempre dependerá del contexto, y en algunos casos no será una buena idea incluso definir $0\cdot\infty$. Sin embargo, no tengo conocimiento de un contexto matemático en el que la convención de $0\cdot\infty=\infty$ es útil.
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