Encuentra todos los primos$p,q$ tales que$p^q + q^p$ es cuadrado perfecto

Question

Sólo una pista para una solución? Traté de separar los casos cuando uno de los primos es$2$, por lo que sería$2^p + p^2 = k^2$ para algunos$k$. Dado que$2^p$ es par, y$p^2$ es impar, implica que$k^2$ es impar y por lo tanto debe estar en la forma$4k+1$ ... pero no sabe qué hacer siguiente.

Answer 1

Para el caso que está investigando, tenemos$k-p$ y$k+p$ son ambos poderes de$2$, digamos$2^a$ y$2^b$. Eso da $p=\frac{2^b-2^a}{2}$. No hay muchas posibilidades para$a$!