Es $\sum_{k=1}^{n} k^k / \sum_{k=1}^{n} k \in \mathbb{N}$ algunos $n > 1$?

Question

Deje $ A = \sum_{k=1}^{n} k^k $ $ B = \sum_{k=1}^{n} k$ donde $n >1 $ es un entero positivo.

Es $A/B$ siempre un número entero?

Answer 1

Escribir $\sum n = \frac 1 2 n(n+1)$, y tenga en cuenta que $n \mid n^n$ pero $n+1 \nmid n^n$. Para coprime $a$ $b$ (nb. $n$ $n+1$ son coprime):

$ab \mid n \iff a \mid n \wedge b\mid n$

y

$a\mid q\times a+r \iff a \mid r$

podemos escribir:

$\frac {n(n+1)}{2} \mid \sum_{i=1}^n i^i \iff \{k_{n+1} \mid \sum_{i=1}^n i^i\} \wedge \{k_n \mid \sum_{i=1}^{n-1} i^i\}$

Donde $k_n = \begin{cases} \frac n 2 & n \text{ is even} \\ n & \text{ otherwise} \end{cases}$

Esto reduce el problema a resolver:

$\text{When does } k_n \text{ divide } \sum_{i=1}^{n-1} i^i \text{ ?} \quad*$

He probado cada número de 132.000 (mediante una secuencia de comandos que he anexado en la parte inferior) y el número de satisfacciones $n\mid \sum_{i=0}^n i^i$ son:

1 
3     =3
7     =7
16    =2*2*2*2
18    =2*3*3
33    =3*11
49    =7*7
147   =3*7*7
161   =7*23
183   =3*61
487   =487
647   =647
1549  =1549
1576  =2*2*2*197
3563  =7*509
4049  =4049
4387  =41*107
5872  =2*2*2*2*367
6638  =2*3319
8578  =2*4289
8805  =3*5*587
9549  =3*3*1061
59453 =59453   
62499 =3*83*251

Estoy interesado en que estos números tienen muy pocos factores primos y creo que podría ser posible demostrar que:

• hay infinitamente muchos de estos números
• no hay ningún par de números de este tipo

usando una combinación muy interesante de la aritmética modular y un poco de diversión primer número de la manipulación.