Límite inferior de la función phi de Euler multiplicada por la suma de divisores

Question

Después de algún trabajo, conseguí esta desigualdad agradable:

$$ \ frac {n ^ 2} {2} <\ phi (n) \ cdot \ sigma (n) $$

Donde$\phi(n)$ es la función phi de Euler y$\sigma(n)= \sum_{d|n} d$. Sé que esto es cierto porque soy consciente de que esto puede ser refinado más a

$ \ Frac {6 n ^ 2} {\ pi ^ 2} <\ phi (n) \ cdot \ sigma (n) $$

Sin embargo, estoy interesado en el primero porque estoy seguro de que hay una prueba elemental de él (que no puedo encontrar en este momento). ¿Algunas ideas?

Answer 1

Si$n=\prod_ip_i^{a_i}$, entonces $ \ sigma (n) = \ prod_i \ frac {p_i ^ {a_i 1} -1} {p_i-1} = n \ prod_i \ frac {1-p_i ^ {- a_i -1}} {1-p_i ^ {- 1}}, $$ y $$ \ phi (n) = n \ prod_i (1-p_i ^ {- 1} Sigma (n) \ phi (n)} {n ^ 2} = \ prod_i (1-p_i ^ {- a_i-1}). $$ Por lo tanto la primera desigualdad es obvia, y la segunda también: cada uno de los exponentes es menor o igual a$−2$, por lo que el producto es al menos tan grande como el producto