¿Por qué la solución general de la ecuación de Schrodinger es una combinación lineal de las funciones propias?

Question

Esta es una cita de Introducción a la mecánica cuántica por David J Griffiths:

3. La solución general es una combinación lineal de soluciones separables. Como vamos a descubrir, la ecuación de Schroedinger independiente del tiempo (ecuación 2.5) produce una colección infinita de soluciones ( $\psi_1(x)$ , $\psi_2(x)$ , $\psi_3(x)$ ...), cada una con su valor asociado de la constante de separación ( $E_1$ , $E_2$ , $E_3$ ...); por tanto, existe una función de onda diferente para cada energía permitida : $$\Psi_1(x, y) = \psi_1(x)e^{-iE_1 t/\hbar},\quad \Psi_2(x, y) = \psi_2(x)e^{-iE_2 t/\hbar}, \ldots.$$ Ahora (como puedes comprobar fácilmente por ti mismo) el (tiempo- de colgante) la ecuación de Schroedinger (ecuación 2.1) tiene la propiedad de que cualquier combinación lineal 5 de soluciones es en sí misma una solución. Una vez que hemos encontrado las soluciones separables, podemos construir inmediatamente una solución mucho más general, de la forma $$\Psi(x, t) = \sum_{n = 1}^{\infty}c_n\psi_n(x)e^{-iE_n t/\hbar}\tag{2.15}$$

Estoy tratando de entenderlo de esta manera.

...la ecuación de Schroedinger independiente del tiempo $\hat H\psi = E\psi$

Una ecuación de valores propios $Ax = \lambda x$ ,

da lugar a una colección infinita de soluciones ( $\psi_1(x)$ , $\psi_2(x)$ , $\psi_3(x)$ , $\dots$ )

tiene vectores propios $x_1$ , $x_2$ , $x_3$ , $\dots$

cada uno con su valor asociado de constante de separación ( $E_1$ , $E_2$ , $E_3$ , $\dots$ );

cada uno con su valor propio asociado $\lambda_1$ , $\lambda_2$ , $\lambda_3$ , $\dots$

por lo que existe una función de onda diferente para la energía permitida: $$\Psi_1(x,t) = \psi_1(x)e^{-iE_1t/\hbar},\quad\Psi_2(x,t) = \psi_2(x)e^{-iE_2t/\hbar}, \dots$$

tienen ecuaciones como $$Ax_1=\lambda_1x_1, \qquad Ax_2=\lambda_2x_2, \dots$$

Una vez que hemos encontrado las soluciones separables, entonces, podemos construir inmediatamente una solución mucho más general, de la forma $$\Psi(x,t) = \sum_{n=1}^{\infty}c_n\psi_n(x)e^{-E_nt/\hbar}$$

(Olvidando la dependencia de cualquier otra variable) Podemos construir una solución más general de la forma $$X = \sum_{n}c_n x_n$$

Esta última ecuación no tiene ningún sentido para mí. No hay nada en el álgebra lineal que diga que esta última ecuación precede lógicamente a las anteriores. Tratando de entender desde el álgebra lineal, ¿qué significa la última ecuación? ¿Por qué la solución general de la ecuación de Schroedinger es una combinación lineal de las funciones propias?

Answer 1

Estás partiendo de un punto incorrecto. El argumento sigue por linealidad de la ecuación.
Supongamos que $\Psi_k(x,t)$ es la solución del depende del tiempo Schr $\ddot{\hbox{o}}$ ecuación de Dinger: $$ i\hbar \frac{\partial }{\partial t}\Psi_k(x,t)=-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\partial^2\Psi_k(x,t)}{\partial x^2}+U(x)\Psi_k(x,t)\, . $$ Entonces: $$ \Phi(x,t)=a_1\Psi_1(x,t)+a_2\Psi_2(x,t) $$ también es una solución ya que $$ i\hbar \frac{\partial }{\partial t}\Phi(x,t) =a_1\left(i\hbar \frac{\partial }{\partial t}\Psi_1(x,t)\right)+a_2 \left(i\hbar \frac{\partial }{\partial t}\Psi_2(x,t)\right) $$ y \begin {align} - \frac { \hbar ^2}{2m} \frac { \partial ^2 \Phi (x,t)}{ \partial x^2}+U(x) \Phi (x,t) &=a_1 \left (- \frac { \hbar ^2}{2m} \frac { \partial ^2 \Psi_1 (x,t)}{ \partial x^2}+U(x) \Psi_1 (x,t) \right ) \\ & \quad + a_2 \left (- \frac { \hbar ^2}{2m} \frac { \partial ^2 \Psi_2 (x,t)}{ \partial x^2}+U(x) \Psi_2 (x,t) \right )\, . \end {align} Esto se deduce simplemente de la regla conocida válida para dos funciones diferenciables cualesquiera $f$ y $g$ : $\partial (f+g)/\partial t=\partial f/\partial t+\partial g/\partial t$ y de forma similar para los parciales w/r a $x$ . Combinando estas dos últimas ecuaciones se obtiene una identidad para cualquier $a_1$ y $a_2$ ya que cada $\Psi_k(x,t)$ es una solución independiente. Por supuesto, esto se extiende simplemente a un número arbitrario de términos en la combinación lineal.

Obsérvese el valor propio del independiente del tiempo parte nunca entra en este argumento. El último paso es observar que la separación de variables en la ecuación dependiente del tiempo da como resultado $\Psi_k(x,t)=e^{-iE_k t}\psi_k(x)$ con $\psi_k(x)$ una función propia de la ecuación independiente del tiempo, pero de nuevo, esto no entra en el argumento.

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Edición: nótese que esto se contradice con el independiente del tiempo ecuación. Cuando $$ -\frac{\hbar^2}{2m}\frac{d^2\psi_k(x)}{dx^2}+U(x)\psi_k(x)=E_k\psi_k(x) $$ el lado derecho debe ser un múltiplo de la función original. Con esta observación, observe entonces que una combinación lineal $$ \psi(x)=a_1\psi_1(x)+a_2\psi_2(x) $$ en general NO sea una solución de la ecuación independiente del tiempo porque \begin {align} \left (- \frac { \hbar ^2}{2m} \frac {d^2}{dx^2}+U(x) \right ) \psi (x) &=a_1 \left (- \frac { \hbar ^2}{2m} \frac {d^2}{dx^2}+U(x) \right ) \psi_1 (x) \\ & \qquad +a_2 \left (- \frac { \hbar ^2}{2m} \frac {d^2}{dx^2}+U(x) \right ) \psi_2 (x) \\ &=a_1E_1 \psi_1 (x)+a_2E_2 \psi_2 (x) \\ &=E_1(a_1 \psi_1 (x)+a_2 \psi_2 (x))+(E_2-E_1)a_2 \psi_2 (x) \\ &=E_1 \psi (x)+(E_2-E_1)a_2 \psi_2 (x) \end {align} será NO sea un múltiplo de $\psi(x)$ a menos que $E_1=E_2$ .

Answer 2

Tal vez para responder a su pregunta sea útil empezar desde una perspectiva ligeramente diferente, conceptualmente. En la Mecánica Cuántica un sistema se describe dando un espacio de Hilbert, cuyos vectores representan estados del sistema (en realidad son sólo una parte de los "estados" llamados estados puros, y dos vectores cualesquiera que sean múltiplos complejos entre sí representan el mismo estado. No te preocupes por esto de momento) y una prescripción de cómo evoluciona el estado del sistema con el tiempo. En este caso esta prescripción es la ecuación de Schroedinger, que escribo como una ecuación de vectores del espacio de Hilbert (en su caso, el espacio de Hilbert es el espacio de las funciones cuadradas integrables sobre $\mathbb{R}$ , llamado $L^2(\mathbb{R})$ ) $$i\hbar\partial_t\psi_t=\hat{H}[\psi_t]$$

El operador $\hat{H}$ es autoadjunto y las matemáticas nos dicen que en este caso la solución única de esta ecuación con una condición inicial dada $\psi_0$ (es decir, el estado en el que se inicia el sistema) es $$\psi_t=e^{-\frac{i}{\hbar}\hat{H}t}[\psi_0]$$

donde $U_t:=e^{-\frac{i}{\hbar}\hat{H}t}$ es un operador unitario llamado "evolución temporal" (compárese con el hecho de que la matriz exponencial de $iA$ , donde $A$ es una matriz hermitiana, es una matriz unitaria).

Ahora todo el trabajo que queda es calcular $U_t\psi_0$ para un determinado $\psi_0$ . Por desgracia, esto es muy difícil en la mayoría de los casos. Ahí es donde entra la ecuación de Schroedinger independiente del tiempo. Supongamos que tenemos un montón de vectores propios $\phi_1, \phi_2 \dots$ de $\hat{H}$ es decir, satisfacen $H\phi_i=E_i\phi_i$ (Espero que no haya confusión cuando los subíndices designan el tiempo y cuando designan qué $\phi$ de la que hablo). De nuevo, las matemáticas nos dicen (y es fácil comprobarlo para las matrices, es decir, para los espacios de Hilbert de dimensión finita) que $$U_t[\phi_i]=e^{-\frac{i}{\hbar}\hat{H}t}[\phi_i]=e^{-\frac{i}{\hbar}E_it}\phi_i$$

Esto está muy bien, porque ahora no tenemos que calcular la exponencial de un operador. Además todos estos operadores son lineales, por lo que si conseguimos escribir nuestro estado inicial $\psi_0$ como una combinación lineal de vectores propios $$\psi_0=\sum_{i=1}^{?} c_i\phi_i$$ para algunas constantes $c_i$ la solución deseada toma la forma

$$\psi_t=\sum_{i=1}^{?} c_ie^{-\frac{i}{\hbar}E_it}\phi_i$$ Por lo tanto, hemos resuelto el problema si podemos encontrar una forma de expresar cualquier condición inicial que queramos como una combinación lineal de vectores propios de $\hat{H}$ . Queremos encontrar una base ortonormal del espacio de Hilbert que conste de tales vectores propios, entonces podemos expresar CUALQUIER vector como una combinación lineal infinita.