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Question

Encuentra el límite$$\lim_{n \to +\infty} \int_{0}^{\infty} e^{-x} (nx - [nx]) dx

Donde$n$ es un número natural y$[nx]$ indica el entero más grande que no es mayor que$nx$.

Answer 1

$e^{-z}\in L^1(\mathbb{R}^+)$, por lo tanto, el límite es de $\color{red}{\frac{1}{2}}$ por la de Riemann-Lebesgue teorema, ya que $\frac{1}{2}-\{nx\}$ tiene una media de cero y es rápidamente oscilante función: sólo use integración por partes. También tenemos una fórmula explícita por la serie de Fourier de la onda de diente de sierra:

$$\begin{eqnarray*}I(n)=\int_{0}^{+\infty}e^{-z}\{nz\}\,dz &=&\frac{1}{2}-\frac{1}{n}\int_{0}^{+\infty}e^{-z/n}\sum_{m\geq 1}\frac{\sin(2\pi m z)}{\pi\,m}\,dz\\&=&\frac{1}{2}-\frac{1}{n}\sum_{m\geq 1}\frac{2}{\frac{1}{n^2}+4m^2 \pi^2} \end{eqnarray*}$$

de donde obtenemos que $I(n)$ se comporta como $\frac{1}{2}-\frac{\zeta(2)}{2\pi^2 n} = \color{red}{\frac{1}{2}-\frac{1}{12n}}.$

Por otra parte, tenemos la suerte de tener un sistema cerrado fórmula, ya que: $$\sum_{m\geq 1}\frac{2}{\frac{1}{n^2}+4m^2 \pi^2} = \frac{n}{2}\left(\coth\left(\frac{1}{2n}\right)-2n\right).$$