¿Cuál es el cuadrilátero formado por las bisectrices de los ángulos de un paralelogramo?

Question

He dibujado algunos paralelogramos y sus bisectrices de ángulos en el Geometer's Sketchpad. El cuadrilátero me parece un rectángulo, pero ¿cómo puedo demostrarlo?

Answer 1

Dejemos que $P$ y $Q$ sean ángulos adyacentes de un paralelogramo, y que esos ángulos tengan la medida $p$ y $q$ . Sea $R$ sea el punto en el que las bisectrices de los ángulos en $P$ y $Q$ se reúnen.

En $\triangle PQR$ tenemos

$$180^\circ = \angle R + \angle RPQ + \angle RQP = \angle R + \frac{1}{2}p + \frac{1}{2}q = \angle R + \frac{1}{2}\left( p+q \right)$$

Los ángulos adyacentes en un paralelogramo son complementarios, por lo que $p+q=180^\circ$ . Así,

$$180^\circ = \angle R + 90^\circ \qquad \implies \qquad \angle R = 90^\circ$$

es decir: Las bisectrices de ángulos adyacentes en un paralelogramo se encuentran en ángulos rectos.

Answer 2

Dadas dos rectas que se cruzan en un punto hay dos bisectrices de ángulos, y éstos son perpendiculares entre sí. Hasta la traslación paralela, eso es todo.