Probar para cada función que de esfera a número real tiene puntos$x$,$-x$ tal que f$(x)=f(-x)$

Question

Todavía no he tomado el curso de topología. Esta es sólo la pregunta que mi profesor de investigación de pregrado nos dejó pensar. Ella insinuó que podría usar un teorema de Cálculo. Así que revisé todos los teoremas en Cálculo, y encontré el teorema del valor intermedio puede ser útil (?) ... ya que tiene algunas generalizaciones en la topología. Pero todavía no sé cómo empezar. Si pudiera darme algunos consejos o ejemplos similares, eso sería realmente útil. ¡Gracias!

Answer 1

Para cualquier función esto es obviamente incorrecto, es cierto para cada función continua.

Tome la función$$g(x)=f(x)-f(-x)$$ and show that is has a zero (hint $ g (x) = - g (-x) $)

Answer 2

Puede buscar teorema borsuk-ulam y obtener algunos detalles.