Infinitos en Newtons ley de la gravedad (para partículas puntuales)

Question

Newton ley de la gravedad por dos partículas de masa $m_1$ $m_2$ es:

$G\frac{m_1.m_2}{r^2}$.

Suponiendo que las partículas son partículas puntuales, a continuación, gravitional atracción va a acercar, y de hecho infinitamente más cerca juntos. Ahora en Newtons tiempo, no existía ninguna teoría, en la medida de como soy consciente de inter-atómicas de las fuerzas que han mantenido estas dos partículas separadas, por lo que el gravitional atracción es asintóticamente infinito. Esto es absurdo, y uno puede decir que el punto de partículas no arbitrariamente el enfoque de uno a otro, o de que las partículas no pueden nunca ser punto de partículas y debe tener la extensión - de hecho, esto incluye la solución anterior, el importe de las posiciones de punto del centro de masa de partículas con extensión no puede, obviamente, el enfoque de uno a otro.

En la Mecánica Clásica, ¿se ha contado como evidencia de cualquiera de las partículas no pueden ser punto de masas; o de algunos entonces desconocido de fuerza de repulsión que actúa a distancias muy pequeñas.

¿Qué hace el registro histórico show?

Answer 1

Los infinitos de la ley de gravedad de Newton, así como la ley de Coulomb, no pueden ser eliminados, por lo que yo sepa. Sin embargo, no necesitan ser removidos para distribuciones de carga / masa, porque el$$\vec{F} = -Gm\int_D \frac{\rho(\vec{x}') (\vec{x} - \vec{x}')}{| \vec{x} - \vec{x'}|^3} d^3x'$$ converges even the integrand diverges at a point. This is easy to see if you convert it into spherical coordinates and $% \ rho% está limitado, cf. Kellogg, Fundamentos de la teoría potencial , 1929.

Answer 2

Creo que el primer par de frases de Landau de la Mecánica , que pone de elegancia:

Uno de los conceptos fundamentales de la mecánica es la de una partícula. Por ello nos referimos a un cuerpo cuyas dimensiones pueden ser descuidados en la descripción de su movimiento. La posibilidad de hacerlo depende, por supuesto, en las condiciones del problema en cuestión. Por ejemplo, los planetas pueden ser considerados como partículas en la consideración de su movimiento alrededor del Sol, pero no en la consideración de su rotación alrededor de sus ejes.

Esto habla de la noción de Newton y sus contemporáneos, tenía en mente. Newton, en particular, parece ser bastante vaga acerca de su noción de cuerpos que aparece a lo largo de los Principia, pero Corolario IV da un indicio de su pensamiento:

El centro común de gravedad de dos o más cuerpos de no modificar su estado de movimiento o de reposo por la acción de los cuerpos entre sí mismos; ... Y por lo tanto la misma ley se lleva a cabo en un sistema compuesto de muchos cuerpos como un solo cuerpo, con respecto a su perseverante en su estado de movimiento o de reposo. Para el movimiento progresivo, ya sea de un solo cuerpo, o de todo un sistema de órganos, siempre que se estima entre el movimiento del centro de gravedad.

Pero en general, parece que Newton no era demasiado explícito en algunas de las sutilezas. De acuerdo a los Ensayos en la Historia de la Mecánica - Clifford Truesdell, fue Euler en su Mechanica que señaló algunos de los sutileza.

... mientras que Newton ha usado la palabra "cuerpo" vagamente y en al menos tres significados diferentes, Euler dio cuenta de que las declaraciones de Newton son en general correctas sólo cuando se aplica a una masa concentrada en puntos aislados; introdujo el preciso concepto de masa y el punto de esto es el primer tratado dedicado expresamente a ello.

En particular, las partes pertinentes parecen estar en el Volumen I, Capítulo 2 de Mechanica. Aquí trato de sacar las partes pertinentes, donde se construye la idea de la sustitución de un cuerpo compuesto de muchas partes, por un solo punto en su centro de masa, y un conjunto de fuerzas de restitución imaginado ser infinito fuerzas elásticas de mantenimiento de las diferentes partes del cuerpo unido.

174 ... parece posible determinar el movimiento de un cuerpo pequeño, la acción de cualquier tipo de fuerzas. ... 175. La fuerza de restitución es que el imaginario infinito de la fuerza, que restaura las partes separadas del cuerpo vuelva a su estado anterior. ... 177. ... la restauración de la fuerza debe ser considerada como la proporcionada por una infinita fuerza elástica ... 182. Por lo tanto, aunque la fuerza de restitución es imaginario y sólo existe en la forma de pensamientos, sin embargo, el efecto de esto sigue el real leyes del movimiento. ... 184. ... que los cuerpos se separan en cualquier número de partes que pueden ser reunidas en el centro común de gravedad.

Así que, para no poner palabras en la boca de la talla de Newton y Euler, pero parece como si el hablar de punto de masas desde el principio es mucho, en línea con la comilla de Landau de la abrí. Se consideró útil la simplificación de los problemas en los que la medida de que el cuerpo era pequeño en comparación con su movimiento más general. Para que la gravedad en particular, Newton (Euler) dedicado grandes esfuerzos, lo que demuestra que durante un largo cuerpo, uno podría reemplazar sus piezas individuales con un punto en el centro de la masa, sin afectar el análisis. Y aunque en el momento no hay una precisa teoría de todas las fuerzas que podía mantener a esos cuerpos juntos, evitando su colapso bajo la gravedad por sí sola, no tenían ninguna dificultad en imaginar esas fuerzas como infinito fuerzas elásticas entre las piezas individuales.

Answer 3

Mecánica clásica tiene sólo teórica punto de masas. En el caso más simple de tomar la partícula dimensiones a un punto, el siguiente argumento se mantenga.

La masa de una partícula estaría dada por su masa densidad veces su volumen.

Tomar el campo gravitacional:

$$ {\bf g}({\bf r}) = -G\frac{m_1}{|{\bf r}|^2}{\bf \hat{r}}, $$

$m_1$ será proporcional al volumen de veces la densidad del material de la partícula.

El volumen es proporcional a $r^3$, por lo tanto, el infinito en $r=0$ es evitar; allí será 0 misa. La fuerza entre $m_1$ $m$ va de:

$$ {\bf F}({\bf r}) = m {\bf g}({\bf r}), $$

así que va a ser cero.

Answer 4

Creo que en la Física, cuando se introducen en una ley, primero debemos preguntar lo que la observación no es predecir. En el caso de la gravitacional de dos cuerpo a cuerpo problema, tenemos un Hamiltoniano

$H = \frac{p_r^2}{2\mu} + \frac{L^2}{2\mu r^2} - \frac{G \mu M}{r}$,

donde $\mu=m_1 m_2/(m_1+m_2), M=m_1+m_2$, $L$ es el momento angular total, y hemos hecho una transformación en el centro de la masa. No es entonces el llamado potencial efectivo

$V_{eff}=\frac{L^2}{2\mu r^2} - \frac{G \mu M}{r}$,

que siempre es repulsivo a medida que nos acercamos $r \to 0$ si $L \neq 0$. Una interpretación intuitiva de esto es simplemente que el potencial Newtoniano no es divergente "suficientemente rápido" y las partículas siempre se pierde (a una sola clase de situaciones "de medida cero"). Así que la mayoría de las veces no tiene que molestar a la diversidad de la fuerza. Desde un estricto punto de vista físico, esta fue una descripción suficiente del sistema solar donde seguramente $L \neq 0$ y para la acción de la gravedad en la Tierra.

Para el resto, creo que la revisión histórica de alemi es mejor que cualquier cosa que pueda producir. Sólo una nota sobre el "infinito fuerzas elásticas", en formal de estos cálculos fueron realizados sólo por las restricciones rígidas como $|\vec{r}_1-\vec{r}_2|=l$ o, por ejemplo, para "esferas duras" $|\vec{r}_1-\vec{r}_2|<2d$. No hubo ninguna observación de la sonda de la micro-estructura, por lo que "las partículas elementales" podría tener como bien ha esferas duras y esto fue hecho frecuente de la penetración en la micro-estructura.

La última nota, en el caso de los planetas recuerdo un cálculo realizado por Newton, que en realidad fue a grandes longitudes para probar una variante del teorema de Gauss para demostrar que nosotros no sentir el tirón de la esférica masiva de shell dentro de ella y por lo tanto la fuerza gravitacional no divergen en el interior de los planetas. El cálculo utiliza un continuo de formulación como se indica aquí ya por auxsvr.

Esto demuestra que hasta tal vez el comienzo del siglo xx, cuando todos los experimentos de Millikan, Rutherford, Perrin y a los demás hace esto aún más imposible, uno podría fácilmente superar el punto de partículas acertijo sólo considerando continua de la materia.

Para concluir, punto de partículas son todavía hoy un problema en la teoría Cuántica de campos, donde las partículas elementales son considerados como punto de partículas y los infinitos también surgen en lugares equivocados. En la relatividad general, la gravitando punto de partículas es el de la clásica (es decir, no en la gravedad cuántica) un pequeño agujero negro que hace que el problema sea aún peor. Los problemas con el punto de partículas puede ser, por ejemplo, entendida como el núcleo de uno de los temas principales para la postulación de las cuerdas, como las partículas elementales en lugar de puntos. Para un poco más sobre este tema, puede leer acerca de renormalization en el wiki.

Answer 5

Hay problemas matemáticamente con punto de partículas, puntiagudos superficies, y similares. Punto de partículas se pueden hacer para ir fuera de zoom con velocidad infinita en un tiempo finito. Los sistemas que violan la Lipschitz puede establecer las condiciones de seguridad, creación de no-determinista de la mecánica clásica problemas.

Estos son problemas conceptuales. Utilizamos punto de partículas debido a que los objetos reales con una masa esférica o la distribución de carga verse como un punto de partículas desde el exterior. (Desde el interior, no.) Cuando los reales de las partículas demasiado cerca juntos que chocan. Singularidad evitado. Lo mismo ocurre con los sistemas que violan las condiciones de Lipschitz. Cuando usted mira en lo que parece ser un afinado de la superficie, no lo es. Si usted tiene que mirar muy de cerca, es tiempo de cambiar las cosas sobre la mecánica cuántica.

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Los documentos que describen la matemática de los problemas descritos anteriormente:

Norton, J. D. (2008). La cúpula: Un inesperadamente el simple hecho de determinismo. La filosofía de la Ciencia, 75(5), 786-798.

Saari, D. G., & Xia, Z. J. (1995). Off hasta el infinito en un tiempo finito. Los avisos de la AMS, 42(5).

Xia, Z. (1992). La existencia de noncollision singularidades en Newtoniano sistemas. Anales de las Matemáticas, 411-468.