Una definición equivalente de GRUPOS

Question

Sea$G$ un conjunto no vacío conjunto una operación binaria$\cdot$. Me pregunto por qué las dos afirmaciones siguientes son equivalentes:

a. $(G,\cdot)$ Es un grupo.

segundo. Existe una función$T : G \longrightarrow G$ tal que para cualquier$a,b,c,d,f \in G$ si$(a\cdot b)\cdot c = (a\cdot d)\cdot f$ entonces$b = d\cdot(f\cdot T(c))$.

Está claro que tenemos un. $\Longrightarrow$ B. Sólo toma $T(c) = c^{-1}$. Pero, ¿qué hay de lo contrario?

Answer 1

He aquí una respuesta parcial, suponiendo que $\cdot$ es asociativa: no veo cómo deducir directamente de $T$. Esencialmente, usted debe ejecutar el razonamiento a la inversa: dado un $T$, definir $c^{-1} := T(c)$. Para comprobar que esto es una inversa a la operación binaria, tenga en cuenta que:

1) Para cualquier fija $c \in G$, el elemento $c \cdot T(c)$ satisface $b = b \cdot (c \cdot T(c))$, para cualquier $b \in G$.

2) Tomar el $c = f$ en la definición de la relación de $T$, tenemos que si $(a \cdot b) \cdot f = (a \cdot d) \cdot f$,$b = d \cdot (f \cdot T(f))$. Pero $d \cdot (f \cdot T(f)) = d$ (1), por lo que la implicación $(a \cdot b) \cdot f = (a \cdot d) \cdot f \implies b = d$ mantiene. En particular, teniendo en $f$ a ser de la forma $c \cdot T(c)$ significa que hemos dejado de cancelación, $a \cdot b = a \cdot d \iff b = d$.

3) Para cualquier $c \in G$, definir $e_c := c \cdot T(c)$. A continuación, para arbitrario $c, f \in G$, $e_c = e_c \cdot e_c$ también $e_c = e_c \cdot e_f$, así que por la izquierda cancelación $e_c = e_f$. Así pues, tenemos una bien definida elemento, $e := e_c$, que será el de la identidad (actualmente se sabe que es un "derecho" de la identidad, es decir, $b = b \cdot e$ todos los $b$).

4) Teniendo en $a = c = f = e$ en la relación original da $e \cdot b = e \cdot d \implies b = d$. Por otro lado, teniendo en $d = e \cdot b$, por la asociatividad tenemos $e \cdot b = (e \cdot e) \cdot b = e \cdot (e \cdot b) = e \cdot d$, lo $b = e \cdot b$, es decir, $e$ realmente es la identidad.

5) Desde $e$ es la identidad, tenemos derecho de cancelación, ya que $b \cdot c = d \cdot c \implies (e \cdot b) \cdot c = (e \cdot d) \cdot c \implies b = d$.

6) Desde $c \cdot T(c) = e$ para cualquier $c \in G$, $T(c)$ es un derecho inversa para $c$. Pero, de nuevo, por la asociatividad, $c \cdot (T(c) \cdot c) \cdot T(c) = (c \cdot T(c)) \cdot (c \cdot T(c)) = e \cdot e = c \cdot e \cdot T(c)$, así que por la izquierda y a la derecha de la cancelación, $T(c) \cdot c = e$, es decir, $T(c)$ realmente es una inversa de a $c$.

Parece plausible que uno puede mostrar directamente bijectivity de $T$, que podría entonces ser utilizado para deducir la asociatividad de forma independiente.