Continuación de la fracción [1,1,1, ...]

Question

Si la representación fraccionada continua de un número irracional$\alpha$ viene dada por [1,1,1, ...], puedo calcular que$\alpha = \frac{1+\sqrt{5}}{2}$ resolviendo la ecuación$\alpha = 1+ \frac{1}{\alpha}$ (y notando Que$\alpha$ es positivo).

Pero esto me parece un poco informal.

¿Existe una manera más formal de mostrar que [1,1,1, ...] =$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$?

Gracias.

Answer 1

Puede demostrar, por inducción, que$[1,1,\dots,1]=f_{n+1}/f_n$ es el$f_n$ número de Fibonacci, y luego demostrar (usando, digamos, la fórmula de Binet para$n$) que Unesdoc.unesco.org unesdoc.unesco.org

Answer 2

La única otra cosa que usted realmente necesita para mostrar si quieres ser preciso es que la secuencia parcial de las fracciones dadas por $a_1 = [1]$, $a_2 = [1,1]$, $a_3 = [1,1,1]$, etc. no tiende a un límite (que es suficiente para mostrar que la secuencia de $\{a_n\}_{n\in\mathbb{N}}$ está acotada arriba por algo y aumentando con el tiempo). Entonces su cálculo muestra que $\alpha$ es la única solución positiva, y por lo tanto debe ser igual a la infinita continuó fracción (que es formalmente el límite de las fracciones parciales se obtiene cuando se detiene después de $n$ 1: $[1,1,1\ldots] := \lim_{n\to\infty} a_n$).

Answer 3

En realidad, es muy representación visual. Vamos a tomar a su fracción y escribir como debe ser por escrito $$\alpha = 1 + \frac 1{1 + \frac 1{1+ \frac 1{1+\frac 1{1+ \frac 1{1 + \ldots}}}}}$$ y la compare con la ecuación $$\alpha = 1+\frac 1{\alpha}$$ y el sustituto de la $\alpha$, que está en el denominador con sí mismo, y usted conseguirá $$\alpha = 1 + \frac 1{1 + \frac 1{\alpha}}$$ si usted sigue que la sustitución, usted conseguirá el $$\alpha = 1 + \frac 1{1 + \frac 1{1+ \frac 1{1+\frac 1{1+ \frac 1{1 + \ldots}}}}}$$ cual es su fracción de nuevo.

Answer 4

Resuelva el% cuadrático $x^2-x-1$de dos maneras. El uso de la fórmula cuadrática le da$(1+\sqrt{5})/2$ (y la otra raíz, por supuesto), y el uso de fracciones continuas le da$[1,1,1,\cdots]$.

Answer 5

Ya que nadie aludió a este punto, creo que es apropiado mencionarlo.
Quiere mostrar que la continuación de la fracción de expansión de $\alpha=\frac{1+\sqrt5}{2}$ es el indicado. Tan sólo utilizar el estándar de proceso: El entero más grande menor $\alpha$ es fácilmente visto a $1$. Así se ve que el primer numero es $1$, y obtenemos: $\alpha=1+\frac{1}{\frac{\sqrt5+1}{2}}$. Ahora, por inducción, se encuentra que el número de todos en la expansión de la es $1$. En cuanto a la convergencia de esta expansión, se encuentra en la teoría de tales fracciones.
P. S. Este enfoque es ir hacia atrás: una vez que usted sepa lo que la solución debe ser similar, compruebe que es, y esto es muy familiar, ¿verdad?
P. S. D. Si uno piensa de esta respuesta como muy frívolo, es comprensible: solo dime. Gracias.