Estoy tratando de averiguar una forma de resolver esta ecuación:
$\sqrt[3]{5x+7}-\sqrt[3]{5x-12}=1$
Traté de ambos lados del cubo, pero terminé con una ecuación como esta:
$\sqrt[3]{(5x-12)(5x+7)}(\sqrt[3]{5x-1}-\sqrt[3]{5x+7})=-6 $
En este momento estoy fuera de cosas que hacer, cualquier ayuda sería apreciada. Gracias de antemano.
Poner $a = \sqrt[3]{5x+7}, b = \sqrt[3]{5x-12}\implies a - b = 1, a^3 - b^3 =19\implies a^2+ab+b^2 = \dfrac{a^3-b^3}{a-b} = \dfrac{19}{1} = 19\implies (a-b)^2+3ab = 19\implies 1^2+3ab = 19 \implies ab = 6\implies (b+1)b = 6\implies b^2+b-6 = 0\implies (b+3)(b-2)=0\implies b = 2, -3\implies 5x-12 = 2^3, (-3)^3 = 8,-27\implies 5x = 20, -15\implies x = 4, -3.$
Antes de cubicación, separar sus raíces:
$$\sqrt[3]{5x+7}=\sqrt[3]{5x-12}+1$$
Ahora el cubo:
$$5x + 7 = 5x - 12 + 3\sqrt[3]{5x-12}^2 + 3\sqrt[3]{5x-12} + 1$$
Simplificar:
$$ \sqrt[3]{5x-12}^2 + \sqrt[3]{5x-12} - 6 = 0$$
Resolver $\sqrt[3]{5x-12}$ (es una ecuación cuadrática). Finalmente resolver $x$.
Veamos. Tenemos
$$\sqrt[3]{5x+7}-\sqrt[3]{5x-12}=1$$
listo $x=y+\frac12$. Entonces
$$\sqrt[3]{5y+\tfrac{19}2}-\sqrt[3]{5y-\tfrac{19}2}=1$$
Ahora cubicación rendimientos
$$19-3\sqrt[3]{(5y)^2-(\tfrac{19}2)^2}\left(\sqrt[3]{5y+\tfrac{19}2}-\sqrt[3]{5y-\tfrac{19}2}\right)=1$$
que vuelve a escribir a
$$\sqrt[3]{(5y)^2-(\tfrac{19}2)^2}=6$$
Que es fácil de resolver, $25y^2=6^3+(\frac{19}2)^2$ o $y=\pm \frac 72$. Ahora concluimos $x=4$ o $x=-3$.
El seguimiento de los OP de la "casi-no" intento (y la corrección de las $-1\color{red}{2}\,$ en la segunda ecuación):
$\sqrt[3]{5x+7}-\sqrt[3]{5x-12}=1 \tag{1}$
traté de cubo de ambos lados, pero terminé con una ecuación de esta apariencia:
$\sqrt[3]{(5x-12)(5x+7)}(\sqrt[3]{5x-1\color{red}{2}}-\sqrt[3]{5x+7})=-6 $
El último factor es $-1$ por la ecuación original $(1)\,$, lo que deja:
$$-\sqrt[3]{(5x-12)(5x+7)}=-6 \tag{2}$$
A continuación, los números de $\,\sqrt[3]{5x+7}\,$ $\,-\sqrt[3]{5x-12}\,$ tienen suma $\,1\,$$(1)\,$, y el producto de $\,-6\,$$(2)\,$, por lo que son las raíces de la ecuación cuadrática $\,t^2-t-6=0 \iff t \in \{-2, 3\}\,$:
$\sqrt[3]{5x+7} = -2 \iff 5x +7 = -8 \iff x = -3$
$\sqrt[3]{5x+7} = 3 \iff 5x + 7 = 27 \iff x = 4$
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