¿Una forma un poco general de números primos gemelos?

Question

Me di cuenta de un simple patrón de los números primos, especialmente de los números primos gemelos.El uso que yo era capaz de demostrar* que cada gemelo primer mayor que $(5,7)$ es de la forma, $(a+30b,a+2+30b)$ donde $a=11,17,29$ $b$ es un entero no negativo.

Mi prueba es muy elemental y este resultado es un poco obvio. Pero no pude encontrar nada sobre esto en mi número de la teoría de los libros de texto o en internet. En este resultado ya conocido ? Si es así, ¿dónde puedo leer más acerca de esto? Puede alguien decir si esto es resultado de un patrón más general?

Ya sé acerca de Dirichlet del Teorema de los Números Primos y cómo se supone que esta serie va a producir un número infinito de números primos. Pido disculpas de antemano si esto no es una pregunta adecuada.

Edit: Esto es de hecho parte de un patrón más general. Por lo tanto se resuelva este problema. Gracias a Noé Schweber y kingW3. Por ejemplo, cada primo primer superior (3,7) es de la forma (a+30b,un+4+30b) , a=7,13,19

Tal forma general puede ser sexy primos y primos con mayores carencias. Aunque el uso de mayor primorials sería más sensato para mostrar las pautas generales para la mayor primer lagunas.

Answer 1

Sí, esto es parte de un patrón más general. En última instancia, sólo se reduce a la observación de que para cualquier $a$ no de la forma, o $a$ $a+2$ acciones un factor con $30$. Esto se puede generalizar directamente para mostrar limitaciones similares en patrones de diferencias finitas arbitrarias en el primes. No sé una citación para esto, pero este tipo de argumento es bastante estándar en teoría de números.