¿Puede arbitraria cerca de $\frac{a^4}{b^3}$ $1$?

Question

He buscado para enteros positivos $a$ $b$ para que la diferencia de $a^4$ $b^3$ es pequeña en comparación con las potencias $a^4$$b^3$. El ejemplo más espectacular que tengo actualmente es

$$9825757^4-2104527924^3=-137318688623$$ so $(a,b)=(9825757,2104527924)$ and $\frac{a^4}{b^3}=1-1.47\cdot 10^{-17}$

Preguntas :

• Es cierto que $a^4-b^3=n$ tiene una cantidad finita entero soluciones para cada entero $n\ne 0$ ? No estoy seguro de si Falting del teorema se puede aplicar aquí.

• Puede $\frac{a^4}{b^3}$ ser arbitrarias cerca de a $1$ de arriba y abajo ? Este parece ser el caso, pero no tengo idea de cómo demostrarlo.

• ¿Cómo puedo encontrar espectacular pares de $(a,b)$ en el anterior sentido de manera eficiente ? Me encontré con mi ejemplo, mediante la fuerza bruta.

Answer 1

Con respecto a punto número 2 y número 3: Encontrar tales enteros $a$$b$$a^4=b^3$. Es bastante obvio que hay infinitamente muchos de ellos. Acaba de establecer $a=c^3$ $b=c^4$ para algunos entero $c$. A continuación, la relación de $\frac{(a+1)^4}{b^3}$ es arbitrariamente cerca de $1$. De forma análoga, $\frac{(a-1)^4}{b^3}$ está cerca de los de abajo. Esto también proporciona un método de generación de ejemplos.

Editar con respecto a punto número uno:

Si $n=1$ he encontrado una prueba de que tal solución no existe. $$ a^4 - b^3 = 1 \Leftrightarrow b^3 = a^4 - 1 = (a^2 + 1)(a^2 - 1) = (a^2 + 1)(a+1)(a-1) $$ Voy a demostrar que un divisor común de dos de los tres factores en el lado derecho es en la mayoría de las $2$. En efecto, mediante el algoritmo de Euclides $$gcd(a-1, a+1) = gcd(a-1, 2) \in \{ 1, 2\}$$ $$gcd(a-1, a^2+1) = gcd(a-1, a^2 + 1 - 2(a-1)) =$$$$= mcd(a-1, (a-1)^2+2) = mcd(a-1, 2) \in \{ 1, 2\}$$ La tercera prueba es análoga.

Por otra parte, si $a$ es aún, todos los tres de estos igualdad de $1$ mientras que para los impares $a$, todos los tres de la igualdad de $2$. Si $a$ es impar, entonces considere el $b' = \frac b 2$. Otro conjunto de $b' = b$. Esto produce que la integral de la $b'^3$ es un producto de coprime enteros, por lo tanto todos los tres de ellos son de un cubo. Sin embargo $a+1$ $a-1$ sólo se diferencian por $2$, mientras que $\frac{a+1}2$ $\frac{a-1}2$ difieren por $1$, por lo tanto no pueden ser ambos cubos, ya que la diferencia entre consecutivos cubos es $2^3 - 1^3 = 7$.

Answer 2

En la pregunta 2.

Tomando el $$a=k^3-3,\\b=k^4-4k,$ $ $k\in\mathbb{N}$, $k>4$, uno puede construir un secuencia de pares $(a,b)$, para que % $ $$a^4 = b^3+n,$donde $$n = 6k^6-44k^3+81,$ $ así $$n=6a^2-8a+3<6a^2.$ $

Por lo tanto, uno puede construir infinitamente muchos pares $(a,b)$ que error estimación $$\left|\dfrac{b^3}{a^4}-1\right|<\dfrac{6}{a^2}.$ $

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Otra secuencia de este tipo:

$$a=(3k)^3-1,\\b=(3k)^4-4k,$ $ proporciona la mejor estimación del error, pero con el mismo asintótica (~ $a^{-2}$).

Answer 3

Considere la posibilidad de $a,b$ coprime números positivos. Hay $2$ de los casos:

$$a^4+d=b^3,\tag{1}$$ $$b^3+d=a^4.\tag{2}$$

De acuerdo a la conjetura ABC, hay un número finito de pares $(a,b)$ tal que $$d<{a^{5/3-\epsilon}},\tag{3}$$ donde $\epsilon>0$.

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Explicación.

Denotar $C = \max\{a^4,b^3\}$.

$(1)$ $(2)$ son expresiones de la forma $$A+B=C.$$

Se refieren ahora a la conjetura ABC.

Denotar $$R = \mathrm{rad}(ABC),$$ donde $\mathrm{rad}(\bullet)$ es el radical de un entero.

A continuación, $$R = \mathrm{rad}(abd) \le abd,$$ $$\log R \le \log a + \log b + \log d.$$

Denotar $x = C^{1/12}$. Denotar $y = \log x = \dfrac{1}{12}\log C$. Entonces $\log a \approx 3y$, $\log b \approx 4y$.

Considerar el valor de $q$ ("calidad"):

$$q = \dfrac{\log C}{\log R} \ge \dfrac{\log C}{\log a+ \log b + \log d}\approx \dfrac{12 y}{3y+4y+\log d}.$$

Si la condición de $(3)$ es verdadera, entonces el $\log d < (5-3\epsilon)y$, e $q$ es mayor que $1$ (con algunas gap).

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Su ejemplo ha $\log d \approx 4.7785 y$, lo que proporciona la calidad de la $1.0188$ ABC-triple $(9825757^4,137318688623, 2104527924^3)$.

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Esto implica que para cualquier $n\ne 0$ hay un número finito de coprime pares de$ (a,b)$ s.t. $a^4-b^3=n$. (si la conjetura ABC es cierto, por supuesto).

Answer 4

Para tu primera pregunta: Mi primer pensamiento fue: ¿por qué no sería esto. Pero no tengo idea de cómo demostrarlo.

Como para la relación $\frac{a^4}{b^3}$, es evidente que se puede hacer que la igualdad de a $1$, mediante la selección de un número $n$ y deje $a=n^3$$b=n^4$. Pero si queremos que sea estrictamente mayor que $1$ lo que, básicamente, sólo tiene que multiplicar $a$$1+\varepsilon$, ya que no es un número entero, se puede "restringir" a nosotros mismos racional $\varepsilon$'s y multiplicar $n$ con el denominador de $\varepsilon$.

Que debería ser un método para la generación de ejemplo que trae dentro de una cierta distancia de $1$.