Si $f$ es integrable, entonces puedo traer funciones continuas desde arriba o abajo.

Question

Deje $f$ ser integrable. Quiero mostrar que existen dos funciones de $g$ $h$ que son continuas en virtud de un intervalo cerrado $[a,b]$ s.t $h\leq f\leq g$ y, al mismo tiempo, $\int_{a}^{b}g-h<\epsilon$

Sé que debido a que f es integrable, existen dos pasos de las funciones de $h\leq f\leq g$ tal que $\int_{a}^{b}g$- $\int_{a}^{b} h<\epsilon$ , pero estoy teniendo problemas en la continuidad de la parte

Mi intuición: Estoy pensando en "unirse a" los pasos utilizando líneas rectas con el fin de tener una función continua. pero no tengo idea de cómo formalizar.

Gracias de antemano!

Answer 1

Creo que la imagen que tenemos en mente es esta:

En primer lugar, tenemos que encontrar el paso de las funciones de $f_{\rm red} \leq f$ $f_{\rm blue} \geq f$ tal que $$ \int (f_{\rm blue} - f_{\rm red} )<\frac \epsilon 3.$$ Esto es posible debido a $f$ es Riemann integrable.

A continuación, queremos encontrar ", se unió a-paso-funciones" $f_{\rm green} \leq f_{\rm red}$ $f_{\rm orange} \geq f_{\rm blue}$ tal que $$ \int( f_{\rm red} - f_{\rm green}) < \frac \epsilon 3.$$ $$ \int (f_{\rm orange} - f_{\rm blue}) < \frac \epsilon 3.$$ Esto es fácil de lograr: sólo tenemos que hacer que la anchura de cada uno de los "triángulo" lo suficientemente pequeño para que las áreas de los triángulos suman menos de $\frac \epsilon 3$. Explicar: si hay $N$ intervalos de la partición, luego debemos elegir el ancho de cada triángulo a ser menos de $2\epsilon /3hN$ donde $h$ es la altura del triángulo.