Me pregunto, a la hora de resolver ejercicios de cuerpo rígido, ¿cómo puedo expresar la relación entre la aceleración lineal y angular para un caso general? Por ejemplo, cuál sería la aceleración lineal en función de la angular de un $1\, \mathrm m$ varilla que gira por un punto fijo $0.6\, \mathrm m$ ¿se aleja de su centro de masas? ¿Y en el caso de un yoyo?
Edición: Conozco la relación básica $a= \alpha R$ pero estoy confundido en cuanto a cómo elegir $R$ y mi libro de texto no ayuda.
Un punto, cuyo vector de posición es $\vec r$ de un cuerpo rígido con velocidad angular $\vec \omega$ tiene velocidad $\vec v=\vec\omega\times\vec r$ . Al diferenciar $\vec v$ con respecto al tiempo obtenemos la aceleración $$\vec a=\vec\alpha\times\vec r+\vec\omega\times\vec v,$$ donde $\vec\alpha=d\vec\omega/dt$ es la aceleración angular.
El primer término, $\vec\alpha\times\vec r$ es paralela al vector velocidad y se denomina normalmente aceleración tangencial. El segundo término, $\vec\omega\times\vec v$ es radialmente hacia adentro y se llama aceleración centrípeta.
Lol, me olvidé totalmente de mencionar lo de la aceleración centrípeta en mi respuesta. Pero supongo que el OP estaba buscando la aceleración tangencial.
@Yashas Efectivamente creo que busca la aceleración tangencial pero vale la pena mencionar el caso general =)
Como has dicho, la aceleración angular, la aceleración lineal tangencial y la distancia entre el punto de referencia y el objeto se relacionan mediante la siguiente fórmula:
$$\vec{a} = \vec{\alpha} \times \vec{r}$$
$\vec{r}$ es simplemente el vector de desplazamiento entre el punto de referencia elegido y el objeto. El objeto no tiene por qué moverse en círculo para que la fórmula funcione.
La elección del punto de referencia es arbitraria; puedes elegir cualquier punto. A menudo utilizamos el centro de masa o el centro de rotación, ya que simplifica las matemáticas, pero no hay ninguna regla que establezca que se deben hacer los cálculos sobre ese punto solamente.
Gracias, su explicación es realmente clara. Todavía me pregunto, entonces, en un yoyo, ¿cómo es que elegimos r ¿es el radio del eje y no el radio real del yoyo?
Depende del movimiento del que se hable. El movimiento del centro de masa del yoyo no es lo mismo que la rotación alrededor del centro de masa. Por ejemplo, la tierra gira alrededor de su propio eje y también gira alrededor del sol. Estas dos rotaciones son diferentes. Depende de la rotación a la que te refieras. Si estás rotando tu yoyo en una dirección circular, entonces tienes dos movimientos de rotación: uno del yoyó alrededor de tu mano y el otro es la rotación del yoyó a lo largo de su eje.
Si puedes proporcionar una mejor descripción de cómo se mueve el yoyo, entonces puedo darte una mejor explicación. Estoy haciendo suposiciones en base a la pregunta que haces (tu comentario a esta respuesta) por lo que sería mejor si pudieras dar una mejor descripción del problema para que pueda deshacerme de esas suposiciones (en mi comentario anterior).
Hay dos ecuaciones fundamentales para la aceleración lineal y la aceleración angular; son:
$m \ddot{x} = F, \theta \ddot{\alpha} = M$ .
tiene además $M = (x-x_0) \times F$ para alguna coordenada del centro de masa $x_0$ . Si se combinan estas ecuaciones se obtiene una relación entre la aceleración lineal y la angular.
En el caso de un yoyo hay que añadir algunas condiciones cinemáticas como
$z = R \phi$
con el radio del yoyo $R$ la coordenada de altura $z$ y el ángulo de rotación $\phi$ .
Su pregunta en incompleta. Si la varilla es rígida, cada punto de la varilla experimenta una aceleración angular igual. Pero como cada punto de la varilla está situado a un radio único del eje de rotación, cada punto experimentará un valor único de aceleración lineal dado por la ecuación $$a = \alpha \times (radius)$$
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